問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

平面図形の重心を求める問題

■問題

直線${\displaystyle y=x}$ と曲線${\displaystyle y=x^2-4x+4}$ で囲まれた図形の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の位置を求めよ．ただし，重心 の ${\displaystyle x}$ 座標を ${\displaystyle x_{\text{G}}}$ ， ${\displaystyle y}$ 座標を ${\displaystyle y_{\text{G}}}$ とする．

■答

${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)=\left(\frac{5}{2},\frac{8}{5}\right)}$ 

■ヒント

平面の重心の計算より

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx}$

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_c^{d}yg\left(y\right)dy}$

の公式を用いる．

■解説

●図形の面積$S$を求める

まず，直線${\displaystyle y=x}$ と曲線${\displaystyle y=x^2-4x+4}$の交点を求める.

(1)を(2)に代入する．

${\displaystyle x=x^2-4x+4}$　･･････(3)

(3)を$x$ について解く．

${\displaystyle x^2-5x+4=0}$ ，${\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-4\right)=0}$ ，${\displaystyle x=1,4}$　･･････(4)

(4)と(1)より，交点座標は

$\left(1,1\right)$，$\left(4,4\right)$

となる．

よって，求める面積$S$は（面積の求め方は，面積の計算を参照）

${\displaystyle S={\displaystyle {\int }_1^4\left|f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\right|dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^4\left\{x-\left(x^2-4x+4\right)\right\}dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^4\left(-x^2+5x-4\right)dx}}$

${\displaystyle ={\left[-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2-4x\right]}_1^4}$

${\displaystyle =-\frac{1}{3}\cdot 4^3+\frac{5}{2}\cdot 4^2-4\cdot 4}$${\displaystyle -\left(-\frac{1}{3}\cdot 1^3+\frac{5}{2}\cdot 1^2-4\cdot 1\right)}$

${\displaystyle =-\frac{64}{3}+40-16+\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-1}$

${\displaystyle =-21+23+\frac{5}{2}}$

${\displaystyle =\frac{9}{2}}$

●${\displaystyle x_{\text{G}}}$を求める

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\displaystyle {\int }_1^{4}xf\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{2}{9}{\displaystyle {\int }_1^{4}x\left\{x-\left(x^2-4x+4\right)\right\}dx}}$

${\displaystyle =\frac{2}{9}{\displaystyle {\int }_1^{4}x\left(-x^2+5x-4\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{2}{9}{\displaystyle {\int }_1^4\left(-x^3+5x^3-4x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{2}{9}{\left[-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3-2x^2\right]}_1^4}$

${\displaystyle =\frac{2}{9}\left(-94+105+\frac{1}{4}\right)}$

${\displaystyle =\frac{2}{9}\cdot \frac{45}{4}}$

${\displaystyle =\frac{5}{2}}$

●${\displaystyle y_{\text{G}}}$を求める

まず,$g\left(y\right)$ を求める．$y$の範囲によって$g\left(y\right)$が異なることに注意する.

${\displaystyle y=x^2-4x+4}$ より

${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2}$

${\displaystyle \pm \sqrt{y}=x-2}$

${\displaystyle x=2\pm \sqrt{y}}$

となる．

${\displaystyle 0\leqq y<1}$ のとき

${\displaystyle g\left(y\right)=2+\sqrt{y}-\left(2-\sqrt{y}\right)}$${\displaystyle =2\sqrt{y}}$

${\displaystyle 1\leqq y<4}$ のとき

$g\left(y\right)=2+\sqrt{y}-y$

よって

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\displaystyle {\int }_0^{4}yg\left(y\right)dy}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\frac{9}{2}}\left\{{\displaystyle {\int }_0^{1}y\cdot 2\sqrt{y}dy}+{\displaystyle {\int }_1^{4}y\cdot \left(2+\sqrt{y}-y\right)dy}\right\}}$　･･････(5)

となる.積分は個別に計算することにする.

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{1}y·2\sqrt{y}dy}}$${\displaystyle =2{\displaystyle {\int }_0^1{y}^{\frac{3}{2}}dy}}$${\displaystyle =2{\left[\frac{2}{5}{y}^{\frac{5}{2}}\right]}_0^1}$${\displaystyle =2\left\{\frac{2}{5}\left(1^{\frac{5}{2}}-0^{\frac{5}{2}}\right)\right\}}$${\displaystyle =2\left(\frac{2}{5}·1\right)}$${\displaystyle =2·\frac{2}{5}}$${\displaystyle =\frac{4}{5}}$　･･････(6)

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^{4}y\cdot \left(2+\sqrt{y}-y\right)dy}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^4\left(2y+y^{\frac{3}{2}}-y^2\right)dy}}$

${\displaystyle ={\left[y^2+\frac{2}{5}{y}^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{3}{y}^3\right]}_1^4}$

${\displaystyle =4^2+\frac{2}{5}\cdot 4^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{3}\cdot 4^3}$${\displaystyle -\left(1^2+\frac{2}{5}\cdot 1^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)}$

${\displaystyle =16+\frac{64}{5}-\frac{1}{3}\cdot 64}$${\displaystyle -\left(1+\frac{2}{5}-\frac{1}{3}\right)}$

${\displaystyle =15+\frac{62}{5}-\frac{63}{3}}$

${\displaystyle =-6+\frac{62}{5}}$

${\displaystyle =\frac{32}{5}}$　･･････(7)

(6)，（7）を(5)に代入する

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{2}{9}\left(\frac{4}{5}+\frac{32}{5}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{2}{9}·\frac{36}{5}}$${\displaystyle =\frac{8}{5}}$

よって，図形の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の位置は

${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)=\left(\frac{5}{2},\frac{8}{5}\right)}$

となる．

　

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>> ${\displaystyle y=x}$ ， ${\displaystyle y=x^2-4x+4}$ で囲まれた図形の重心

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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