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弾性力のした仕事
■問題
質量MMの物体があり，図のようにばねでつながれている．物体を原点から点AAまでゆっくりと動かしたとき，弾性力(Elastic Force)のした仕事を求めよ．ただし，ばね定数はkk，ばねの自然長はllとし，物体はばねの弾性力により持ち上がることはないとする．
■答
−12k(√l2+d2−l)2−12k(√l2+d2−l)2
■ヒント
■解説
図のように物体の移動方向をxx軸の正方向とする．また，物体の位置をxxで表すこととする．
物体の位置がxxのときのばねの伸びΔlΔlは，xxまで移動したときのばねの長さから元のばねの長さllを引いたものである．
ここで，xxまで移動したときのばねの長さをl′l′とすると，l′l′は三平方の定理より
l′=√l2+x2l′=√l2+x2
したがって
Δl=l′−lΔl=l′−l=√l2+x2−l=√l2+x2−l
よって，ばねの弾性力FFの大きさ|F||F|は
|F|=kΔl|F|=kΔl=k(√l2+x2−l)=k(√l2+x2−l)
となる．
図のようにxx軸と弾性力のなす角をθθ とすると，三角関数の定義より
cosθ=−x√l2+x2cosθ=−x√l2+x2=−x√l2+x2=−x√l2+x2
となる．
物体を位置xxからdxdxだけ動かした時にかかる弾性力のした仕事 dWdWは
dW=(|F|cosθ)dxdW=(|F|cosθ)dx=k(√l2−x2−l)⋅(−x√l2+x2)dx=k(√l2−x2−l)⋅(−x√l2+x2)dx=−kx(√l2−x2−l)√l2+x2dx=−kx(√l2−x2−l)√l2+x2dx
となる．従って，物体を原点OOから点AAまで動かした時の弾性力のした仕事 WWは
W=−∫d0kx(√l2+x2−l)√l2+x2dxW=−∫d0kx(√l2+x2−l)√l2+x2dx
=−∫d0(kx−klx√l2+x2)dx=−∫d0(kx−klx√l2+x2)dx
=−∫d0kxdx+∫d0klx√l2+x2dx=−∫d0kxdx+∫d0klx√l2+x2dx
=−[12kx2]d0+[klt]√l2+d2l=−[12kx2]d0+[klt]√l2+d2l
(∫d0klx√l2+x2dx=[klt]√l2+d2l∫d0klx√l2+x2dx=[klt]√l2+d2l の計算はここを参照)
=−12kd2+kl√l2+d2+kl2=−12kd2+kl√l2+d2+kl2
=−12k(d2−2l√l2+d2+2l2)=−12k(d2−2l√l2+d2+2l2)
=−12k(l2+d2−2l√l2+d2+l2)=−12k(l2+d2−2l√l2+d2+l2)
=−12k(√l2+d2−l)2=−12k(√l2+d2−l)2
よって，物体を原点から点Aまでゆっくりと動かしたときの弾性力のした仕事は−12k(√l2+d2−l)2−12k(√l2+d2−l)2である．
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学生スタッフ作成
最終更新日：
2023年11月23日
