弾性力のした仕事

■問題

質量 $M$ の物体があり，図のようにばねでつながれている．物体を原点から点 $A$ までゆっくりと動かしたとき，弾性力(Elastic Force)のした仕事を求めよ．ただし，ばね定数は $k$ ，ばねの自然長は $l$ とし，物体はばねの弾性力により持ち上がることはないとする．

■答

$- \frac{1}{2} k {(\sqrt{l^{2} + d^{2}} - l)}^{2}$

■ヒント

弾性力，仕事

■解説

図のように物体の移動方向を $x$ 軸の正方向とする．また，物体の位置を $x$ で表すこととする．

物体の位置が $x$ のときのばねの伸び $Δ l$ は， $x$ まで移動したときのばねの長さから元のばねの長さ $l$ を引いたものである．

ここで， $x$ まで移動したときのばねの長さを $l^{'}$ とすると， $l^{'}$ は三平方の定理より

$l^{'} = \sqrt{l^{2} + x^{2}}$ 　

したがって

$Δ l = l^{'} - l$ $= \sqrt{l^{2} + x^{2}} - l$ 　

よって，ばねの弾性力 $F$ の大きさ $|F|$ は

$|F| = k Δ l$ $= k (\sqrt{l^{2} + x^{2}} - l)$ 　

となる．

図のように $x$ 軸と弾性力のなす角を $θ$ とすると，三角関数の定義より

$\cos θ = \frac{- x}{\sqrt{l^{2} + x^{2}}}$ $= - \frac{x}{\sqrt{l^{2} + x^{2}}}$ 　

となる．

物体を位置 $x$ から $d x$ だけ動かした時にかかる弾性力のした仕事　 $d W$ は

$d W = (|F| \cos θ) d x$ $= k (\sqrt{l^{2} - x^{2}} - l) \cdot (- \frac{x}{\sqrt{l^{2} + x^{2}}}) d x$ $= - \frac{k x (\sqrt{l^{2} - x^{2}} - l)}{\sqrt{l^{2} + x^{2}}} d x$

となる．従って，物体を原点 $O$ から点 $A$ まで動かした時の弾性力のした仕事　 $W$ は

$W = - \int_{0}^{d} \frac{k x (\sqrt{l^{2} + x^{2}} - l)}{\sqrt{l^{2} + x^{2}}} d x$ 　

$= - \int_{0}^{d} (k x - \frac{k l x}{\sqrt{l^{2} + x^{2}}}) d x$ 　

$= - \int_{0}^{d} k x d x + \int_{0}^{d} \frac{k l x}{\sqrt{l^{2} + x^{2}}} d x$ 　

$= - {[\frac{1}{2} k x^{2}]}_{0}^{d} + {[k l t]}_{l}^{\sqrt{l^{2} + d^{2}}}$ 　

( $\int_{0}^{d} \frac{k l x}{\sqrt{l^{2} + x^{2}}} d x = {[k l t]}_{l}^{\sqrt{l^{2} + d^{2}}}$ の計算はここを参照)

$= - \frac{1}{2} k d^{2} + k l \sqrt{l^{2} + d^{2}} + k l^{2}$ 　

$= - \frac{1}{2} k (d^{2} - 2 l \sqrt{l^{2} + d^{2}} + 2 l^{2})$ 　

$= - \frac{1}{2} k (l^{2} + d^{2} - 2 l \sqrt{l^{2} + d^{2}} + l^{2})$ 　

$= - \frac{1}{2} k {{(\sqrt{l^{2} + d^{2}})}^{2} - 2 l \sqrt{l^{2} + d^{2}} + l^{2}}$ 　

$= - \frac{1}{2} k {(\sqrt{l^{2} + d^{2}} - l)}^{2}$ 　

よって，物体を原点から点Aまでゆっくりと動かしたときの弾性力のした仕事は $- \frac{1}{2} k {(\sqrt{l^{2} + d^{2}} - l)}^{2}$ である．

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最終更新日： 2023年11月23日