問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

平面図形の重心を求める問題

■問題

曲線 ${\displaystyle y=\frac{3}{4}{x}^2}$ と直線$x=2$と${\displaystyle x}$軸に囲まれた図形の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の位置を求めよ．ただし，重心の${\displaystyle x}$ 座標を${\displaystyle x_{\text{G}}}$ ，${\displaystyle y}$ 座標を${\displaystyle y_{\text{G}}}$とする．

■答

${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{9}{10}\right)}$

■ヒント

平面の重心の計算より

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx}$

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_c^{d}yg\left(y\right)dy}$

の公式を用いる．

■解説

●図形の面積$S$を求める

図より（面積の求め方は，面積の計算を参照）

${\displaystyle S={\displaystyle {\int }_0^2\frac{3}{4}{x}^{2}dx}}$${\displaystyle =\frac{3}{4}{\displaystyle {\int }_0^2{x}^{2}dx}}$${\displaystyle =\frac{3}{4}{\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^2}$${\displaystyle =\frac{3}{4}\left\{\frac{1}{3}\left(2^3-0^3\right)\right\}}$${\displaystyle =\frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}·8\right)}$${\displaystyle =\frac{3}{4}·\frac{8}{3}}$${\displaystyle =2}$ 　

●${\displaystyle x_{\text{G}}}$を求める

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\displaystyle {\int }_0^{2}xf\left(x\right)dx}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{2}x·\frac{3}{4}{x}^{2}dx}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}·\frac{3}{4}{\displaystyle {\int }_0^2{x}^{3}dx}}$ 　

${\displaystyle =\frac{3}{8}{\left[\frac{1}{4}{x}^4\right]}_0^2}$ 　

${\displaystyle =\frac{3}{8}\left\{\frac{1}{4}\left(2^4-0^4\right)\right\}}$ 　

${\displaystyle =\frac{3}{8}\left(\frac{1}{4}·16\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{3}{8}·4}$ 　

${\displaystyle =\frac{3}{2}}$ 　

●${\displaystyle y_{\text{G}}}$を求める

まず，${\displaystyle g\left(y\right)}$ を求める．

${\displaystyle y=\frac{3}{4}{x}^2}$ より

${\displaystyle x=\frac{2\sqrt{3}}{3}y}$

よって

${\displaystyle g\left(y\right)=2-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{y}}$

となる

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\displaystyle {\int }_0^{3}yg\left(y\right)dy}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}{{\displaystyle \int }}_0^{3}y·\left(2-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{y}\right)dy}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^3\left(2y-\frac{2\sqrt{3}}{3}{y}^{\frac{3}{2}}\right)dy}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[y^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{2}{5}{y}^{\frac{5}{2}}\right]}_0^3}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(3^2-\frac{4\sqrt{3}}{15}\cdot 3^{\frac{5}{2}}\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(9-\frac{4\sqrt{3}}{15}\cdot 3^2\sqrt{3}\right)}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(9-\frac{36}{5}\right)}$ 　 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}·\frac{9}{5}}$

${\displaystyle =\frac{9}{10}}$ 　

以上より，図形の重心${\displaystyle \text{G}}$の位置は，${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{9}{10}\right)}$ となる．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月22日

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