置換積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-3}^{-4}x{(x+3)}^2}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{5}{4}}$

■ヒント

${\displaystyle x+3=t}$と置いて考える．

■解説

${\displaystyle x+3=t}$ とおく．

両辺を${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle 1=\frac{dt}{dx}}$

よって，${\displaystyle dx=dt}$

積分範囲について考えると，

${\displaystyle x+3=t}$より，

${\displaystyle x=-3}$ のとき，${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle x=-4}$ のとき，${\displaystyle t=-1}$

また，${\displaystyle x+3=t}$より，${\displaystyle x=t-3}$

以上より，与式を${\displaystyle t}$の式に変換すると，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{-1}\left(t-3\right)\cdot t^2}dt}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{-1}\left(t^3-3t^2\right)}dt}$

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{4}{t}^4-t^3\right]}_0^{-1}}$

${\displaystyle =\left\{\frac{1}{4}\cdot {\left(-1\right)}^4-{\left(-1\right)}^3\right\}}$${\displaystyle -\left(\frac{1}{4}\cdot 0^4-0^3\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}-\left(-1\right)-0}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}+1}$

${\displaystyle =\frac{5}{4}}$

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最終更新日： 2023年11月14日