置換積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1{x}^2{e}^{x^3}}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{3}\left(e-1\right)}$

■ヒント

${\displaystyle x^3=t}$ とおいて考える．

■解説

${\displaystyle x^3=t}$ とおく．

両辺を${\displaystyle x}$ で微分すると，

${\displaystyle 3x^2=\frac{dt}{dx}}$ 　　

よって，${\displaystyle 3x^{2}dx=dt}$

積分範囲について考えると，${\displaystyle x^3=t}$ より，

${\displaystyle x=0}$ のとき，${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle x=1}$ のとき，${\displaystyle t=1}$

以上より，与式を${\displaystyle t}$ の式に変換すると，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1{x}^2{e}^{x^3}}dx}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{3}{e}^t}dt}$

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{3}{e}^t\right]}_0^1}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(e^1-e^0\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(e-1\right)}$

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最終更新日： 2023年11月14日