定積分

■問題

次の定積分の値を求めよ.

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{\sin x}}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}\log 3}$

■解説

${\displaystyle \frac{1}{\sin x}=\frac{\sin x}{{\sin }^{2}x}=\frac{\sin x}{1-{\cos }^{2}x}}$

${\displaystyle \cos x=t}$ とおいて，置換積分を行う．

${\displaystyle \cos x=t}$を両辺${\displaystyle x}$ で微分すると，

${\displaystyle -\sin x=\frac{dt}{dx}}$

${\displaystyle \sin xdx=-dt}$

となる．

${\displaystyle \cos x=t}$に，積分範囲の上端，下端を代入すると

${\displaystyle x=\frac{\pi }{3}}$ のとき，${\displaystyle t=\frac{1}{2}}$

${\displaystyle x=\frac{\pi }{2}}$のとき，${\displaystyle t=0}$

となる．

積分変数を${\displaystyle x}$ から${\displaystyle t}$ に変換すると，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{1-{\cos }^{2}x}dx}}$ ${\displaystyle ={\int }_{\frac{1}{2}}^0\frac{-dt}{1-t^2}}$ ${\displaystyle =-{\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{-dt}{1-t^2}}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{dt}{(1+t)(1-t)}}}$

分数関数の積分になるので，部分分数に分解をする．

${\displaystyle \frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{A}{1+t}+\frac{B}{1-t}}$ ･･････(1)

とすると，

${\displaystyle \frac{A}{1+t}+\frac{B}{1-t}=\frac{A(1-t)+B(1+t)}{(1+t)(1-t)}$ {\displaystyle =\frac{A-At+B+Bt}{(1+t)(1-t)}}$}$ ${\displaystyle =\frac{(A+B)+(B-A)t}{(1+t)(1-t)}}$

(1)より，

${\displaystyle \{\begin{array}{l}A+B=1\\ B-A=0\end{array}}$

よって，

${\displaystyle A=B}$

${\displaystyle 2B=1}$ ，${\displaystyle B=\frac{1}{2}}$${\displaystyle (=A)}$

よって(1)に代入して， ${\displaystyle \frac{1}{(1+t)(1-t)}$ {\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+t}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-t}}$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)}$

与式${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{dt}{(1+t)(1-t)}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)}dt}$

（${\displaystyle \frac{1}{1+t}}$ の積分についてはここを参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[\log \left|1+t\right|-\log \left|1-t\right|\right]}_0^{\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[\log \left|\frac{1+t}{1-t}\right|\right]}_0^{\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\log \left|\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\right|-0\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left|\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\right|}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log 3}$

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最終更新日： 2023年11月14日