不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int \frac{6 x - 5}{3 x^{2} - 5 x + 2} d x$ 　　

$\log | 3 x - 2 | + \log | x - 1 | + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

（あるいは， $log | 3 x^{2} - 5 x + 2 | + C$ ）

分母を微分すると分子になる→置換積分法を考える

$\int \frac{1}{x} d x = log | x | + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

の公式を用いる．

$3 x^{2} - 5 x + 2 = t$ とおくと

$\frac{d t}{d x} = 6 x - 5$ ， $d t = (6 x - 5) d x$ 　･･････(1)

となる．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

与式 $= \int \frac{1}{t} d t$ 　

（与式に(1)を代入すした）

$= log | t | + C$ 　　

（方針の公式にあてはめた）

$= log | 3 x^{2} - 5 x + 2 | + C$ 　　

（最初に， $3 x^{2} - 5 x + 2 = t$ と置換したので，元に戻した）

$= \log | (3 x - 2) (x - 1) | + C$ 　　

$= \log | 3 x - 2 | + \log | x - 1 | + C$ 　　

（対数の計算の基本式を使って式を変形した）

$\frac{6 x - 5}{3 x^{2} - 5 x + 2}$ を部分分数に分解してから積分する．

$\frac{6 x - 5}{3 x^{2} - 5 x + 2}$ $= \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$ $= \frac{a}{3 x - 2} + \frac{b}{x - 1}$ 　　

とおく．

$\frac{a}{3 x - 2} + \frac{b}{x - 1}$ $= \frac{a (x - 1) + b (3 x - 2)}{(3 x - 2) (x - 1)}$ $= \frac{(a + 3 b) x - a - 2 b}{(3 x - 2) (x - 1)}$ 　　

よって

$\frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)} = \frac{(a + 3 b) x - a - 2 b}{(3 x - 2) (x - 1)}$ 　　

が常に成り立つためには， $a$ と $b$ が連立方程式

${\begin{matrix} a + 3 b = 6 \\ - a - 2 b = - 5 \end{matrix}$ 　　

を満たす必要がある．連立方程式を解くと

$a = 3$ ， $b = 1$

が得られる．よって

$\frac{6 x - 5}{3 x^{2} - 5 x + 2}$ $= \frac{3}{3 x - 2} + \frac{1}{x - 1}$

と部分分数に分解することができる．よって

与式 $= \int (\frac{3}{3 x - 2} + \frac{1}{x - 1}) d x$

$= \log | 3 x - 2 | + \log | x - 1 | + C$ 　　

（この積分は，ここを参照する）

求まった答え　 $\log | 3 x - 2 | + \log | x - 1 | + C$ 　を微分し，積分前の式　 $\frac{6 x - 5}{3 x^{2} - 5 x + 2}$ 　に戻ることを確認しなさい．

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日