定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_2^5\frac{1}{2xlog2x}dx}$ 　

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}log\left(\frac{log10}{2log2}\right)}$ 　

■ヒント

定積分の基本式より，定理

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ 　

置換積分法より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$ 　

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int \frac{1}{2xlog2x}dx}$ 　を求めておく． 　

${\displaystyle log2x=t}$　･･････(1)

とおいて置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}}$ 　　∴ ${\displaystyle dt=\frac{1}{x}dx}$　･･････(2)

（${\displaystyle \log 2x}$ を微分すると${\displaystyle \frac{1}{x}}$ になるのは微分 ${\displaystyle logx}$ 　を参照）

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\log 2x}\cdot \frac{1}{x}dx}}$ 　

${\displaystyle =\int \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{t}dt}$ 　

上の式に(1)，(2)を代入する

${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot logt+C}$ 　

（基本となる関数の積分を参照）
（${\displaystyle C}$ は積分定数）

ここで， ${\displaystyle log2x=t}$ と置換していることより

${\displaystyle x=2}$ 　のとき　${\displaystyle t=log4}$，${\displaystyle x=5}$ 　のとき　${\displaystyle t=log10}$

よって

${\displaystyle {\int }_2^5\frac{1}{2xlog2x}dx={\int }_{log4}^{log10}\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{t}dt}$${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[logt\right]}_{log4}^{log10}}$ 　

（置換積分法を参照）

となる．

与式${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[logt\right]}_{log4}^{log10}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{\log \left(\log 10\right)-\log \left(\log 4\right)\right\}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left(\frac{log10}{log4}\right)}$ 　

（ ${\displaystyle {log}_a\frac{R}{S}={log}_{a}R-{log}_{a}S}$ の証明を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left(\frac{log10}{log{2}^2}\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left(\frac{log10}{2log2}\right)}$ 　

（ ${\displaystyle {log}_a{R}^t=t{log}_{a}R}$ の証明を参照）

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月23日