定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{cos2x}{3+sin2x}dx}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \log 2-\frac{1}{2}\log 3}$

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$

置換積分法より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int \frac{cos2x}{3+sin2x}dx}$ を求めておく．

${\displaystyle 3+sin2x=t}$ ･･････(1)

とおいて置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2cos2x}$ →　 ${\displaystyle \frac{1}{2}dt=cos2xdx}$ ･･････(2)

（ ${\displaystyle \sin 2x}$ を微分すると ${\displaystyle 2\cos 2x}$ になるのは微分 ${\displaystyle sinx}$ を参照）

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{3+\sin 2x}\cdot }\cos 2xdx}$

上の式に(1)，(2)を代入する．

${\displaystyle =\int \frac{1}{t}\cdot \frac{1}{2}dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int \frac{1}{t}dt}$

（ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ が積分記号 ${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}logt+C}$

（基本となる関数の積分の ${\displaystyle 2}$ 番目の式を参照）
（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

ここで， ${\displaystyle 3+sin2x=t}$ と置換しているので

${\displaystyle x=0}$ のとき　 ${\displaystyle t=3}$ , ${\displaystyle x=\frac{\pi }{4}}$ のとき　 ${\displaystyle t=4}$

だから

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{cos2x}{3+sin2x}dx=\frac{1}{2}{\int }_3^4\frac{1}{t}dt=\frac{1}{2}{\left[logt\right]}_3^4}$

（置換積分法を参照）

となる．

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[logt\right]}_3^4}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(log4-log3\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\log 2^2-\log 3\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(2\log 2-\log 3\right)}$

${\displaystyle =\log 2-\frac{1}{2}\log 3}$

（ ${\displaystyle {log}_a\frac{R}{S}={log}_{a}R-{log}_{a}S}$ の証明を参照）

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最終更新日： 2026年10月6日