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質量Mの物体があり,図のようにばねでつながれている.物体を原点から点Aまでゆっくりと動かしたとき,弾性力(Elastic Force)のした仕事を求めよ.ただし,ばね定数はk,ばねの自然長はlとし,物体はばねの弾性力により持ち上がることはないとする.
−12k(√l2+d2−l)2
図のように物体の移動方向をx軸の正方向とする.また,物体の位置をxで表すこととする.
物体の位置がxのときのばねの伸びΔlは,xまで移動したときのばねの長さから元のばねの長さlを引いたものである.
ここで,xまで移動したときのばねの長さをl′とすると,l′は三平方の定理より
l′=√l2+x2
したがって
Δl=l′−l=√l2+x2−l
よって,ばねの弾性力Fの大きさ|F|は
|F|=kΔl=k(√l2+x2−l)
となる.
図のようにx軸と弾性力のなす角をθ とすると,三角関数の定義より
cosθ=−x√l2+x2=−x√l2+x2
となる.
物体を位置xからdxだけ動かした時にかかる弾性力のした仕事 dWは
dW=(|F|cosθ)dx=k(√l2−x2−l)⋅(−x√l2+x2)dx=−kx(√l2−x2−l)√l2+x2dx
となる.従って,物体を原点Oから点Aまで動かした時の弾性力のした仕事 Wは
W=−∫d0kx(√l2+x2−l)√l2+x2dx
=−∫d0(kx−klx√l2+x2)dx
=−∫d0kxdx+∫d0klx√l2+x2dx
=−[12kx2]d0+[klt]√l2+d2l
(∫d0klx√l2+x2dx=[klt]√l2+d2l の計算はここを参照)
=−12kd2+kl√l2+d2+kl2
=−12k(d2−2l√l2+d2+2l2)
=−12k(l2+d2−2l√l2+d2+l2)
=−12k(√l2+d2−l)2
よって,物体を原点から点Aまでゆっくりと動かしたときの弾性力のした仕事は−12k(√l2+d2−l)2である.
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学生スタッフ作成
最終更新日:
2023年11月23日