Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

弾性力のした仕事

■問題

質量Mの物体があり,図のようにばねでつながれている.物体を原点から点Aまでゆっくりと動かしたとき,弾性力(Elastic Force)のした仕事を求めよ.ただし,ばね定数はk,ばねの自然長はlとし,物体はばねの弾性力により持ち上がることはないとする.

■答

12k(l2+d2l)2

■ヒント

弾性力仕事

■解説

図のように物体の移動方向をx軸の正方向とする.また,物体の位置をxで表すこととする.

物体の位置がxのときのばねの伸びΔlは,xまで移動したときのばねの長さから元のばねの長さlを引いたものである.

ここで,xまで移動したときのばねの長さをlとすると,l三平方の定理より

l=l2+x2  

したがって

Δl=ll=l2+x2l  

よって,ばねの弾性力Fの大きさ|F|

|F|=kΔl=k(l2+x2l)  

となる.

図のようにx軸と弾性力のなす角をθ とすると,三角関数の定義より

cosθ=xl2+x2=xl2+x2  

となる.

物体を位置xからdxだけ動かした時にかかる弾性力のした仕事 dW

dW=(|F|cosθ)dx=k(l2x2l)(xl2+x2)dx=kx(l2x2l)l2+x2dx

となる.従って,物体を原点Oから点Aまで動かした時の弾性力のした仕事 W

W=d0kx(l2+x2l)l2+x2dx  

=d0(kxklxl2+x2)dx  

=d0kxdx+d0klxl2+x2dx  

=[12kx2]d0+[klt]l2+d2l  

(d0klxl2+x2dx=[klt]l2+d2l の計算はここを参照)

=12kd2+kll2+d2+kl2  

=12k(d22ll2+d2+2l2)  

=12k(l2+d22ll2+d2+l2)  

=12k{(l2+d2)22ll2+d2+l2}  

=12k(l2+d2l)2  


よって,物体を原点から点Aまでゆっくりと動かしたときの弾性力のした仕事は12k(l2+d2l)2である.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>定積分の問題>>弾性力のした仕事

学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月23日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)