基本的な対数方程式の問題

■問題

次の対数方程式を解け．

${log}_{2} (x + 3) + {log}_{2} (x - 4) = 3$ ${log}_{2} (x + 3) + {log}_{2} (x - 4) = 3$

■動画解説

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■答

$x = 5$ $x = 5$

■ヒント

$3$ $3$ を底 $2$ $2$ の対数にする

■計算

${log}_{2} (x + 3) + {log}_{2} (x - 4) = 3$ ${log}_{2} (x + 3) + {log}_{2} (x - 4) = 3$ $= 3 {log}_{2} 2$ $= 3 {log}_{2} 2$ $= {log}_{2} 2^{3}$ $= {log}_{2} 2^{3}$ $= {log}_{2} 8$ $= {log}_{2} 8$

$(x + 3) (x - 4) = 8$ $(x + 3) (x - 4) = 8$

$x^{2} - x - 12 = 8$ $x^{2} - x - 12 = 8$

$x^{2} - x - 20 = 0$ $x^{2} - x - 20 = 0$

$(x + 4) (x - 5) = 0$ $(x + 4) (x - 5) = 0$

$x = 5$ $x = 5$ (真数条件， $x > 4$ $x > 4$ を満たしている．)

■解説

最初に真数条件を確認する．

$x + 3 > 0$ $x + 3 > 0$ ， $x - 4 > 0$ $x - 4 > 0$ ⇒　 $x > - 3$ $x > - 3$ ， $x > 4$ $x > 4$

すなわち

$x > 4$ $x > 4$

となる．

与式の左辺を変形する． ${log}_{a} S + {log}_{a} R = {log}_{a} S R$ ${log}_{a} S + {log}_{a} R = {log}_{a} S R$ の公式より

${log}_{2} (x + 3) + {log}_{2} (x - 4)$ ${log}_{2} (x + 3) + {log}_{2} (x - 4)$ $= {log}_{2} (x + 3) (x - 4)$ $= {log}_{2} (x + 3) (x - 4)$

次に与式の右辺を変形する．右辺の $3$ $3$ を底が $2$ $2$ の対数に変換する．このとき $t {log}_{a} R = {log}_{a} R^{t}$ $t {log}_{a} R = {log}_{a} R^{t}$ の公式を適用する．

$3$ $3$ $= 3 {log}_{2} 2$ $= 3 {log}_{2} 2$ $= {log}_{2} 2^{3}$ $= {log}_{2} 2^{3}$ $= {log}_{2} 8$ $= {log}_{2} 8$

ゆえに，与式は

${log}_{2} (x + 3) (x - 4)$ ${log}_{2} (x + 3) (x - 4)$ $= {log}_{2} 8$ $= {log}_{2} 8$

と変形できる．(以下，対数方程式の解法の2を参照）

$(x + 3) (x - 4)$ $(x + 3) (x - 4)$ $= 8$ $= 8$

$x^{2} - x - 12$ $x^{2} - x - 12$ $= 8$ $= 8$

$x^{2} - x - 20$ $x^{2} - x - 20$ $= 0$ $= 0$

$(x - 5) (x + 4)$ $(x - 5) (x + 4)$ $= 0$ $= 0$

$x = 5, - 4$ $x = 5, - 4$

ゆえに $x$ $x$ の値は

$x = 5$ $x = 5$ (真数条件： $x > 4$ $x > 4$ を満たしている)

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日