基本的な指数方程式の問題

■問題

次の指数方程式を解け．

${(\frac{1}{2})}^{x} = 8$ ${(\frac{1}{2})}^{x} = 8$

$x = - 3$ $x = - 3$

${(\frac{1}{2})}^{x}$ ${(\frac{1}{2})}^{x}$ $= 8$ $= 8$

$2^{- x}$ $2^{- x}$ $= 2^{3}$ $= 2^{3}$

$- x$ $- x$ $= 3$ $= 3$

$x$ $x$ $= - 3$ $= - 3$

与式を見ると，左辺，右辺ともに底が $2$ $2$ である指数を用いた表現に変更することができる．

まずは左辺を変更する．指数法則を用いると

${(\frac{1}{2})}^{x} = {(2^{- 1})}^{x} = 2^{- x}$ ${(\frac{1}{2})}^{x} = {(2^{- 1})}^{x} = 2^{- x}$

となる．次に右辺を変更する．

$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^{3}$ $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^{3}$

即ち与式は

$2^{- x} = 2^{3}$ $2^{- x} = 2^{3}$

と式変形できた．

上の式の右辺と左辺は等しい．なおかつ，底は $2$ $2$ で統一されているので

指数の値も等しい．つまり

$- x = 3$ $- x = 3$

が成り立つ．

よって，求める $x$ $x$ の値は

$x = - 3$ $x = - 3$

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日