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累乗された数の桁数を求める問題

■問題

${\displaystyle 3^{50}}$ は何桁の数か求めよ．ただし， ${\displaystyle {log}_{10}3=0.4771}$ である．

■動画解説

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■答

${\displaystyle 3^{50}}$ は $24$ 桁である．

■計算

${\displaystyle {log}_{10}{3}^{50}}$ ${\displaystyle =50{log}_{10}3}$ ${\displaystyle =50\times 0.4771}$ ${\displaystyle =23.855}$ ${\displaystyle =23.855{log}_{10}10}$ ${\displaystyle ={log}_{10}{10}^{23.855}}$

${\displaystyle 3^{50}={10}^{23.855}}$

${\displaystyle {10}^{23}<{10}^{23.855}<{10}^{24}}$

${\displaystyle {10}^{23}<3^{50}<{10}^{24}}$

ゆえに求める桁数は $24$ 桁である．

■解説

この問題は $3$ を $50$ 回乗じて，数を求めることで答を得ることは難しい．

そこで，条件( ${\displaystyle {log}_{10}3=0.4771}$ )を上手に利用する．

${\displaystyle 3^{50}}$ を，底を $3$ から $10$ に変換するすることによって，桁数を求める．

まず， ${\displaystyle 3^{50}}$ の常用対数をとる．

${\displaystyle {log}_{10}{3}^{50}}$ ${\displaystyle =50{log}_{10}3}$   ( ${\displaystyle {log}_a{R}^t=t{log}_{a}R}$ の公式を使う．)

${\displaystyle =50\times 0.4771}$   ( ${\displaystyle {log}_{10}3=0.4771}$ より)

${\displaystyle =23.855}$

次に，この ${\displaystyle 23.855}$ を，底が $10$ の指数を用いた表現に変換する．

${\displaystyle =23.855{log}_{10}10}$   ( ${\displaystyle 1={log}_{a}a}$ より)

${\displaystyle ={log}_{10}{10}^{23.855}}$   ( ${\displaystyle t{log}_{a}R={log}_a{R}^t}$ の公式を使う．)

この式変形により

${\displaystyle {log}_{10}{3}^{50}={log}_{10}{10}^{23.855}}$

が得られた．底が ${\displaystyle 10}$ で一致しているので，真数同士が等しくなる．

${\displaystyle 3^{50}={10}^{23.855}}$ ･･････(1)

${\displaystyle {10}^{23.855}}$ は，以下の関係が成り立つ．

${\displaystyle {10}^{23}<{10}^{23.855}<{10}^{24}}$

(1)より

${\displaystyle {10}^{23}<3^{50}<{10}^{24}}$

ゆえに， ${\displaystyle 3^{50}}$ は $24$ 桁である．

　

なぜ， $24$ 桁になるのか，もう少し解説する．

例えば ${\displaystyle {10}^2}$ を考える．もちろんこの値は $100$ で $3$ 桁である．

つまり， ${\displaystyle {10}^n}$ のとき， ${\displaystyle n}$ の値は $1$ の後に並ぶ $0$ の数と等しくなる．

実際の桁数は，最初に $1$ があるので， ${\displaystyle \left(n+1\right)}$ 桁になる．

また， ${\displaystyle {10}^{23.855}}$ のように指数の値が整数ではなく小数点以下の値が出てきた場合はどう考えるのか．

解説の中の ${\displaystyle {10}^{23}<{10}^{23.855}<{10}^{24}}$ の各辺を ${\displaystyle {10}^{23}}$ で割る．

${\displaystyle {10}^0<{10}^{0.855}<{10}^1}$

${\displaystyle 1<{10}^{0.855}<10}$

これからわかるように， ${\displaystyle {10}^x}$ の指数 ${\displaystyle x}$ が ${\displaystyle 0<x<1}$ の場合は， ${\displaystyle 1<{10}^x<10}$ となる．

つまり， ${\displaystyle {10}^{23.855}={10}^{0.855}·{10}^{23}}$ の ${\displaystyle {10}^{23}}$ を見て，指数の値に $1$ 足した数が桁数になる．この場合は $24$ 桁になる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日

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