問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け

${\displaystyle 4·3^{t+1}\leqq 9^t+27}$

■答

${\displaystyle t\leqq 1}$，${\displaystyle 2\leqq t}$

■ヒント

　底を$3$にそろえ，${\displaystyle 3^t=X}$ とおく

■解説

${\displaystyle 4\cdot 3^{t+1}}$${\displaystyle \leqq 9^t+27}$

${\displaystyle 0}$${\displaystyle \leqq {\left(3^2\right)}^t-4·\left(3^t·3^1\right)}$

${\displaystyle 0}$${\displaystyle \leqq {\left(3^t\right)}^2-12·3^t+27}$

${\displaystyle 0}$${\displaystyle \leqq X^2-12·X+27}$　･･････(1)

${\displaystyle 3^t=X>0}$ とおき，それを(1)に代入する．

${\displaystyle 0\leqq X^2-12·X+27}$

次に因数分解をすると

${\displaystyle 0}$${\displaystyle \leqq X^2-12·X+27}$

${\displaystyle 0}$${\displaystyle \leqq \left(X-3\right)\left(X-9\right)}$

となる.よって，$X$ の範囲は

${\displaystyle X\leqq 3}$，${\displaystyle 9\leqq X}$

となる．

$X$を ${\displaystyle 3^t}$ に戻すと

${\displaystyle 3^t\leqq 3}$，${\displaystyle 3^t\leqq 3^1}$　･･････(2)

${\displaystyle 9\leqq 3^t}$，${\displaystyle 3^2\leqq 3^t}$　･･････(3)

となる.底$3$が$1$より大きい．よって

(2)より

${\displaystyle t\leqq 1}$

(3)より

${\displaystyle 2\leqq t}$

以上より

${\displaystyle t\leqq 1}$，${\displaystyle 2\leqq t}$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日

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