対数不等式の問題

■問題

$\frac{1}{3} {log}_{2} x^{3} + \frac{1}{2} {log}_{2} (x^{2} + 4 x + 4) ≦ 3$

$0 < x ≦ 2$

まず，真数条件より

$x^{3} > 0$ →　 $x > 0$ ･･････(1)

$x^{2} + 4 x + 4 > 0$ ， ${(x + 2)}^{2} > 0$ →　 $x \neq - 2$ ･･････(2)

(1)，(2)より

$x > 0$ ･･････(3)

次に，与式を整理する．(対数計算の基本を参照)

$\frac{1}{3} {log}_{2} x^{3} + \frac{1}{2} {log}_{2} (x^{2} + 4 x + 4)$ $≦ 3$

${log}_{2} x + {log}_{2} (x + 2)$ $≦ 3 {log}_{2} 2$

${log}_{2} x (x + 2)$ $≦ {log}_{2} 8$

底が $2$ で $1$ より大きい．よって，真数を比較すると以下のようになる．(対数関数を参照)

$x (x + 2)$ $≦ 8$

$x^{2} + 2 x - 8$ $≦ 0$

$(x - 2) (x + 4)$ $≦ 0$

よって

$- 4 ≦ x ≦ 2$ ･･････(4)

(3)，(4)より

$0 < x ≦ 2$

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日