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指数で表現された数の桁を求める問題

■問題

${\displaystyle 5^{65}}$ の桁数を求めよ．また，最上位の数は何か．ただし， ${\displaystyle {\log }_{10}2=0.301}$ ， ${\displaystyle {\log }_{10}3=0.477}$ ， ${\displaystyle {\log }_{10}7=0.845}$ とする．

■動画解説

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■答

$46$ 桁であり，最上位の数は $2$ である．

■解説

${\displaystyle {log}_{10}{5}^{65}}$ ${\displaystyle =65{log}_{10}5}$ ${\displaystyle =65\times 0.6990}$ ${\displaystyle =45.435}$

${\displaystyle 5^{65}}$ ${\displaystyle ={10}^{45.435}}$ ${\displaystyle ={10}^{45+0.435}}$ ${\displaystyle ={10}^{0.435}\times {10}^{45}}$

${\displaystyle {10}^0<{10}^{0.435}<{10}^1}$ →　 ${\displaystyle 1<{10}^{0.435}<10}$

より

${\displaystyle {10}^{45}<{10}^{0.435}\times {10}^{45}<{10}^{46}}$

${\displaystyle {10}^{45}<5^{65}<{10}^{46}}$

よって， ${\displaystyle 5^{65}}$ は $46$ 桁である

一方

${\displaystyle {log}_{10}2}$ ${\displaystyle <0.435}$ ${\displaystyle <{log}_{10}3}$

${\displaystyle {\log }_{10}2<{\log }_{10}{10}^{0.435}<{\log }_{10}3}$

底の $10$ は $1$ より

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大きいので，真数同士を比較すると

${\displaystyle 2<{10}^{0.435}<3}$

したがって

${\displaystyle 2\times {10}^{45}<5^{65}<3\times {10}^{45}}$

となる．ゆえに，最上位の数は $2$ となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日

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