問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

指数で表現された数の桁を求める問題

■問題

${\displaystyle 5^{65}}$の桁数を求めよ．また，最上位の数は何か．ただし，${\displaystyle {\log }_{10}2=0.301}$ ，${\displaystyle {\log }_{10}3=0.477}$，${\displaystyle {\log }_{10}7=0.845}$ とする．

■答

$46$桁であり，最上位の数は$2$である．

■解説

${\displaystyle {log}_{10}{5}^{65}}$${\displaystyle =65{log}_{10}5}$${\displaystyle =65\times 0.6990}$${\displaystyle =45.435}$

${\displaystyle 5^{65}}$${\displaystyle ={10}^{45.435}}$ ${\displaystyle ={10}^{45+0.435}}$${\displaystyle ={10}^{0.435}\times {10}^{45}}$

${\displaystyle {10}^0<{10}^{0.435}<{10}^1}$　→　${\displaystyle 1<{10}^{0.435}<10}$

よって，${\displaystyle 5^{65}}$ は$46$ 桁である

${\displaystyle 5^{65}}$${\displaystyle ={10}^{0.435}\times {10}^{45}}$

一方

${\displaystyle {log}_{10}2}$${\displaystyle <0.435}$${\displaystyle <{log}_{10}3}$

${\displaystyle {\log }_{10}2<{\log }_{10}{10}^{0.435}<{\log }_{10}3}$

${\displaystyle 2<{10}^{0.435}<3}$

したがって

${\displaystyle 2\times {10}^{45}<5^{65}<3\times {10}^{45}}$

となる．ゆえに，最上位の数は$2$ となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月26日

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