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指数を用いて表現された数の桁数に関する問題
■問題
(16)75(16)75 は小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか．また，その 0 でない数字を求めよ．ただし， log102=0.301 ， log103=0.477 ， log107=0.845 とする．
■動画解説
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■答
小数第 59 桁に初めて 0 でない数字が現れる．その 0 でない数字は 4 となる
■解説
log10(16)75=−75log6 =−75×0.7782 =−58.365
となる．よって
(16)75=10−58.365 =10−59+0.635 =100.635×10−59
備考：
0≦a<1 ならば， 10a は
1=100≦10a<101=10
となり， 10a の整数部分は， 1 から 9 の自然数のいずれかになる．
10−59<100.635×10−59<10−58
の関係が得られる．よって，小数第 59 位に初めて 0 でない数字が現れる．
備考：
10−1=0.1 となり，少数第 1 位が 1 になる．
10−2=0.01 となり，少数第 2 位が 1 になる．
この傾向から 10−59 は，少数第 59 位に始めて 0 でない数字 1 が現れる．
となる．また
よって
3<100.635<7
となり， 0 でない数字は， 4 ， 5 ， 6 のいずれかである．
log104=log10(2×2) =log102+log102 =0.301+0.301 =0.602
log105=log10102 =log1010−log102 =1−0.301 =0.699
log106=log10(3×2) =log103+log102 =0.477+0.301 =0.778
上記計算は対数の基本を参考する．
よって
log104<0.635<log105
log104<log10100.635<log105
4<100.635<5
となる．よって， 100.635 の整数部分は 4 となる．したがって，初めて 0 でない数字は 4 である．
以上，まとめると，初めて 0 でない数字が現れるのは小数第 59 位で，初めて 0 でない数字は 4 である．
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作成：学生スタッフ
最終更新日： 2025年2月13日
