問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

指数表現された数の大きさに関する問題

■問題

${\displaystyle {\left(\frac{1}{6}\right)}^{75}}$ は小数第何桁に初めて$0$でない数字が現れるか．また，その$0$でない数を求めよ．ただし，${\displaystyle {\log }_{10}2=0.301}$ ，${\displaystyle {\log }_{10}3=0.477}$，${\displaystyle {\log }_{10}7=0.845}$ とする．

■答

小数第$58$桁に初めて$0$でない数字が現れる．その$0$でない数は3となる

■解説

${\displaystyle {log}_{10}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{75}=-75log6}$${\displaystyle =-75\times 0.7782}$${\displaystyle =-58.365}$

となる．よって

${\displaystyle {\left(\frac{1}{6}\right)}^{75}={10}^{-58.365}}$${\displaystyle ={10}^{-59+0.635}}$${\displaystyle ={10}^{0.631}\times {10}^{-59}}$

${\displaystyle {10}^{-59}<{10}^{0.635}\times {10}^{-59}<{10}^{-58}}$

の関係が得られる．よって，小数第$59$位に初めて$0$でない数字が現れる．

となる．また

${\displaystyle {log}_{10}4<0.635<{log}_{10}5}$

${\displaystyle {\log }_{10}4<{\log }_{10}{10}^{0.635}<{\log }_{10}5}$

${\displaystyle 4<{10}^{0.635}<5}$

となる．よって，初めて$0$でない数値は$4$である．

以上，まとめると，初めて$0$でない数字が現れるのは小数第$59$位で，初めて$0$でない数字は$4$である．

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作成：学生スタッフ

初版：2009年5月26日，最終更新日： 2023年11月26日

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