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(16)75 は小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか.また,その 0 でない数字を求めよ.ただし, log102=0.301 , log103=0.477 , log107=0.845 とする.
小数第 59 桁に初めて 0 でない数字が現れる.その 0 でない数字は 4 となる
log10(16)75=−75log6 =−75×0.7782 =−58.365
となる.よって
(16)75=10−58.365 =10−59+0.635 =100.635×10−59
備考:
0≦a<1 ならば, 10a は
1=100≦10a<101=10
となり, 10a の整数部分は, 1 から 9 の自然数のいずれかになる.
10−59<100.635×10−59<10−58
の関係が得られる.よって,小数第 59 位に初めて 0 でない数字が現れる.
備考:
10−1=0.1 となり,少数第 1 位が 1 になる.
10−2=0.01 となり,少数第 2 位が 1 になる.
この傾向から 10−59 は,少数第 59 位に始めて 0 でない数字 1 が現れる.
となる.また
よって
3<100.635<7
となり, 0 でない数字は, 4 , 5 , 6 のいずれかである.
log104=log10(2×2) =log102+log102 =0.301+0.301 =0.602
log105=log10102 =log1010−log102 =1−0.301 =0.699
log106=log10(3×2) =log103+log102 =0.477+0.301 =0.778
上記計算は対数の基本を参考する.
よって
log104<0.635<log105
log104<log10100.635<log105
4<100.635<5
となる.よって, 100.635 の整数部分は 4 となる.したがって,初めて 0 でない数字は 4 である.
以上,まとめると,初めて 0 でない数字が現れるのは小数第 59 位で,初めて 0 でない数字は 4 である.
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作成:学生スタッフ
最終更新日: 2025年2月13日