問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な指数の問題

■問題

${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}=3}$ のとき，次の値を求めよ．

${\displaystyle x^2+x^{-2}}$

■答

${\displaystyle x^2+x^{-2}=47}$

■解説

この結果より

${\displaystyle x+x^{-1}=7}$

求める式の指数が与式の左辺の指数の2倍になっている．与式の両辺を2乗すると

${\displaystyle {\left(x+x^{-1}\right)}^2=7^2}$

左辺に乗法の公式を適応する．

${\displaystyle {\left(x^1+x^{-1}\right)}^2={\left(x^1\right)}^2+2\left(x^1\right)\left(x^{-1}\right)+{\left(x^{-1}\right)}^2}$

各項に指数法則を適用する．

${\displaystyle {\left(x^1\right)}^2}$${\displaystyle =x^{\left(1\right)\times 2}}$${\displaystyle =x^2}$

${\displaystyle \left(x^1\right)\left(x^{-1}\right)}$${\displaystyle =x^{\left(1-1\right)}}$${\displaystyle =x^0}$

${\displaystyle {\left(x^{-1}\right)}^2}$${\displaystyle =x^{\left(-1\right)\times 2}}$${\displaystyle =x^{-2}}$

つまり，与式は

${\displaystyle x^2+2x^0+x^{-2}=7^2=49}$

と式変形できる．

0が指数の場合は

${\displaystyle x^0=1}$

が成り立つので

${\displaystyle x^2+2+x^{-2}=49}$

となる．２を右辺へ移項する．

${\displaystyle x^2+x^{-2}=}$${\displaystyle 47}$

値を求めることができた．

　

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月27日

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