基本的な対数関数の計算

■問題

${log}_{\frac{1}{2}} 32$ ${log}_{\frac{1}{2}} 32$

$- 5$ $- 5$

(1) ${log}_{\frac{1}{2}} 32 = x$ ${log}_{\frac{1}{2}} 32 = x$ とおいて解く．

(2)対数の性質を利用して解く．

(1) ${log}_{\frac{1}{2}} 32 = x$ ${log}_{\frac{1}{2}} 32 = x$ とおく．

${log}_{\frac{1}{2}} 32 = x \Leftrightarrow {(\frac{1}{2})}^{x} = 32$ ${log}_{\frac{1}{2}} 32 = x \Leftrightarrow {(\frac{1}{2})}^{x} = 32$ (対数の定義参照)

${(\frac{1}{2})}^{x} = 32$ ${(\frac{1}{2})}^{x} = 32$

${(\frac{1}{2})}^{x} = 2^{5} = {(\frac{1}{2})}^{- 5}$ ${(\frac{1}{2})}^{x} = 2^{5} = {(\frac{1}{2})}^{- 5}$

$2^{- 1} = \frac{1}{2}$ $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ （指数が負の整数の場合を参照）

${(2^{- 1})}^{- 1} = {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ${(2^{- 1})}^{- 1} = {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ （両辺を $- 1$ $- 1$ 乗している）

$2 = {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ $2 = {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ （ ${(2^{- 1})}^{- 1}$ ${(2^{- 1})}^{- 1}$ で指数法則 ${(a^{r})}^{s} = a^{r s}$ ${(a^{r})}^{s} = a^{r s}$ を用いている）

指数を比較することにより

$x = - 5$ $x = - 5$

(2)対数の性質を使って解く．

${log}_{\frac{1}{2}} 32$ ${log}_{\frac{1}{2}} 32$ $= {log}_{\frac{1}{2}} 2^{5}$ $= {log}_{\frac{1}{2}} 2^{5}$

真数を対数の底と同じ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ の累乗の形に書き換える．

$= {log}_{\frac{1}{2}} {(\frac{1}{2})}^{- 5}$ $= {log}_{\frac{1}{2}} {(\frac{1}{2})}^{- 5}$

$= - 5 {log}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$ $= - 5 {log}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

$= - 5$ $= - 5$

作成：学生スタッフ

最終更新日：2025年2月13日