問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な指数方程式の問題

■問題

次の指数方程式を解け．

${\displaystyle 9^t-4\cdot 3^{t+1}+27=0}$

■答

${\displaystyle t=1}$，${\displaystyle 2}$

■ヒント

${\displaystyle 9^t={\left(3^2\right)}^t={\left(3^t\right)}^2}$ 　指数法則を参照

${\displaystyle 3^{t+1}=3^t\cdot 3=3\cdot 3^t}$

${\displaystyle 3^t=T}$

とおいて，${\displaystyle T}$の2次式と考えて方程式を解く

■解き方

 与式の左辺を変形すると

${\displaystyle {\left(3^2\right)}^t-4\cdot 3^t\cdot 3+27=0}$

${\displaystyle {\left(3^t\right)}^2-12\cdot 3^t+27=0}$

 となる．

 ここで，${\displaystyle 3^t=T}$とおく．

 ただし，${\displaystyle T>0}$ ･･････(1)

 よって

${\displaystyle T^2-12T+27=0}$

${\displaystyle \left(T-9\right)\left(T-3\right)=0}$

${\displaystyle T=3}$，${\displaystyle 9}$

これは(1)を満たしている．よって

${\displaystyle 3^t=3}$，${\displaystyle 9}$

 これらの式は

${\displaystyle 3^t=3^1}$

${\displaystyle 3^t=3^2}$

 ゆえに

${\displaystyle t=1}$，${\displaystyle 2}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日

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