対数不等式の問題

■問題

次の対数不等式を解け．

${(\log_{\frac{1}{2}} x)}^{2} - \log_{\frac{1}{2}} x < 2$ ${(\log_{\frac{1}{2}} x)}^{2} - \log_{\frac{1}{2}} x < 2$

■動画解説

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■答

$\frac{1}{4} < x < 2$ $\frac{1}{4} < x < 2$

■解き方

真数条件より

$x > 0$ $x > 0$ ･･････(1)

となる．

$\log_{\frac{1}{2}} x = X$ $\log_{\frac{1}{2}} x = X$ とおく．

$X^{2} - X < 2$ $X^{2} - X < 2$

$X^{2} - X - 2 < 0$ $X^{2} - X - 2 < 0$

$(X - 2) (X + 1) < 0$ $(X - 2) (X + 1) < 0$

よって

$- 1 < X < 2$ $- 1 < X < 2$

$- 1 < \log_{\frac{1}{2}} x < 2$ $- 1 < \log_{\frac{1}{2}} x < 2$

$\log_{\frac{1}{2}} {(\frac{1}{2})}^{- 1} < \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) < \log_{\frac{1}{2}} {(\frac{1}{2})}^{2}$ $\log_{\frac{1}{2}} {(\frac{1}{2})}^{- 1} < \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) < \log_{\frac{1}{2}} {(\frac{1}{2})}^{2}$

底の値 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ は， $0 < \frac{1}{2} < 1$ $0 < \frac{1}{2} < 1$ より，真数の大小関係は対数の大小関係と逆になる.

${(\frac{1}{2})}^{- 1} > x > {(\frac{1}{2})}^{2}$ ${(\frac{1}{2})}^{- 1} > x > {(\frac{1}{2})}^{2}$

$\frac{1}{4} < x < 2$ $\frac{1}{4} < x < 2$ ･･････(2)

(2)は(1)を満たす．

したがって

$\frac{1}{4} < x < 2$ $\frac{1}{4} < x < 2$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日