基本的な指数方程式の問題

■問題

次の指数方程式を解け．

$4^{t} - 3 \cdot 2^{t} - 4 = 0$ $4^{t} - 3 \cdot 2^{t} - 4 = 0$

$t = 2$ $t = 2$

$4^{t} = {(2^{2})}^{t} = {(2^{t})}^{2}$ $4^{t} = {(2^{2})}^{t} = {(2^{t})}^{2}$ 指数法則を参照

$2^{t} = T$ $2^{t} = T$

とおいて， $T$ $T$ の2次式と考えて方程式を解く

与式の左辺を変形すると

${(2^{2})}^{t} - 3 \cdot 2^{t} - 4 = 0$ ${(2^{2})}^{t} - 3 \cdot 2^{t} - 4 = 0$

${(2^{t})}^{2} - 3 \cdot 2^{t} - 4 = 0$ ${(2^{t})}^{2} - 3 \cdot 2^{t} - 4 = 0$

となる．

ここで， $2^{t} = T$ $2^{t} = T$ とおく．

ただし， $T > 0$ $T > 0$ ･･････(1)

よって

$T^{2} - 3 T + 4 = 0$ $T^{2} - 3 T + 4 = 0$

$(T - 4) (T + 1) = 0$ $(T - 4) (T + 1) = 0$

$T = - 1$ $T = - 1$ ，4

(1)より

$T = 4$ $T = 4$

よって

$2^{t} = 4$ $2^{t} = 4$

$2^{t} = 2^{2}$ $2^{t} = 2^{2}$

ゆえに

$t = 2$ $t = 2$

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日