問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

対数不等式の問題

■問題

次の対数不等式を解け

${\displaystyle \frac{1}{3}{log}_2{x}^3+\frac{1}{2}{log}_2\left(x^2+4x+4\right)\leqq 3}$

■動画解説

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■答

${\displaystyle 0<x\leqq 2}$

■解説

まず，真数条件より

${\displaystyle x^3>0}$ →　 ${\displaystyle x>0}$ ･･････(1)

${\displaystyle x^2+4x+4>0}$ ， ${\displaystyle {\left(x+2\right)}^2>0}$ →　 ${\displaystyle x\ne -2}$ ･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle x>0}$ ･･････(3)

次に，与式を整理する．(対数計算の基本を参照)

${\displaystyle \frac{1}{3}{log}_2{x}^3+\frac{1}{2}{log}_2\left(x^2+4x+4\right)}$ ${\displaystyle \leqq 3}$

${\displaystyle {log}_{2}x+{log}_2\left(x+2\right)}$ ${\displaystyle \leqq 3{log}_{2}2}$

${\displaystyle {log}_{2}x\left(x+2\right)}$ ${\displaystyle \leqq {log}_{2}8}$

底が $2$ で $1$ より大きい．よって，真数を比較すると以下のようになる．(対数関数を参照)

${\displaystyle x\left(x+2\right)}$ ${\displaystyle \leqq 8}$

${\displaystyle x^2+2x-8}$ ${\displaystyle \leqq 0}$

${\displaystyle \left(x-2\right)\left(x+4\right)}$ ${\displaystyle \leqq 0}$

よって

${\displaystyle -4\leqq x\leqq 2}$ ･･････(4)

(3)，(4)より

${\displaystyle 0<x\leqq 2}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日

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