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指数を用いて表現された数の桁数に関する問題

■問題

${\displaystyle {\left(\frac{1}{6}\right)}^{75}}$ は小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか．また，その $0$ でない数字を求めよ．ただし， ${\displaystyle {\log }_{10}2=0.301}$ ， ${\displaystyle {\log }_{10}3=0.477}$ ， ${\displaystyle {\log }_{10}7=0.845}$ とする．

■動画解説

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■答

小数第 $59$ 桁に初めて $0$ でない数字が現れる．その $0$ でない数字は $4$ となる

■解説

${\displaystyle {log}_{10}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{75}=-75log6}$ ${\displaystyle =-75\times 0.7782}$ ${\displaystyle =-58.365}$

となる．よって

${\displaystyle {\left(\frac{1}{6}\right)}^{75}={10}^{-58.365}}$ ${\displaystyle ={10}^{-59+0.635}}$ ${\displaystyle ={10}^{0.635}\times {10}^{-59}}$

${\displaystyle {10}^{-59}<{10}^{0.635}\times {10}^{-59}<{10}^{-58}}$

の関係が得られる．よって，小数第 $59$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる．

となる．また

よって

${\displaystyle 3<{10}^{0.635}<7}$

となり， $0$ でない数字は， $4$ ， $5$ ， $6$ のいずれかである．

${\displaystyle {\log }_{10}4={\log }_{10}\left(2\times 2\right)}$ ${\displaystyle ={\log }_{10}2+{\log }_{10}2}$ ${\displaystyle =0.301+0.301}$ ${\displaystyle =0.602}$

${\displaystyle {\log }_{10}5={\log }_{10}\frac{10}{2}}$ ${\displaystyle ={\log }_{10}10-{\log }_{10}2}$ ${\displaystyle =1-0.301}$ ${\displaystyle =0.699}$

${\displaystyle {\log }_{10}6={\log }_{10}\left(3\times 2\right)}$ ${\displaystyle ={\log }_{10}3+{\log }_{10}2}$ ${\displaystyle =0.477+0.301}$ ${\displaystyle =0.778}$

上記計算は対数の基本を参考する．

よって

${\displaystyle {log}_{10}4<0.635<{log}_{10}5}$

${\displaystyle {\log }_{10}4<{\log }_{10}{10}^{0.635}<{\log }_{10}5}$

${\displaystyle 4<{10}^{0.635}<5}$

となる．よって， ${\displaystyle {10}^{0.635}}$ の整数部分は $4$ となる．したがって，初めて $0$ でない数字は $4$ である．

以上，まとめると，初めて $0$ でない数字が現れるのは小数第 $59$ 位で，初めて $0$ でない数字は $4$ である．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日

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