問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な対数関数の計算

■問題

${\displaystyle {log}_2\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)}$

■動画解説

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■答

${\displaystyle -\frac{3}{2}}$

■ヒント

(1) ${\displaystyle {log}_2\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)=x}$ とおいて解く．

(2)対数の性質を利用して解く．

■解き方

(1) ${\displaystyle {log}_2\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)=x}$ とおく．

${\displaystyle {log}_2\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)=x}$ ⇔ ${\displaystyle 2^x=\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)}$ (対数の定義参照)

${\displaystyle 2^x=\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)}$

${\displaystyle ={\left(\sqrt{8}\right)}^{-1}}$ (ここを参照)

${\displaystyle ={\left(\sqrt{2^3}\right)}^{-1}}$

${\displaystyle ={\left\{{\left(2^3\right)}^{\frac{1}{2}}\right\}}^{-1}}$ (ここを参照)

${\displaystyle ={\left(2^{3\times \frac{1}{2}}\right)}^{\left(-1\right)}}$ (∵ ${\displaystyle {\left(a^r\right)}^s=a^{rs}}$ )

${\displaystyle =2^{3\times \frac{1}{2}\times \left(-1\right)}}$

$=2^{-\frac{3}{2}}$

すなわち

${\displaystyle 2^x=2^{-\frac{3}{2}}}$

両辺とも底が $2$ と同じてある．よって，指数同士も等しくなる．

${\displaystyle x=-\frac{3}{2}}$

　

(2)対数の性質を使って解く．

${\displaystyle {log}_2\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)}$ ${\displaystyle ={\log }_2{\left(\sqrt{8}\right)}^{-1}}$

${\displaystyle ={log}_2{2}^{-\frac{3}{2}}}$

${\displaystyle =-\frac{3}{2}{log}_{2}2}$ (∵ ${log}_a{R}^t=t{log}_{a}R$ )

${\displaystyle =-\frac{3}{2}}$ (∵ ${\log }_{a}a=1$ )

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日

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