問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

対数不等式の問題

■問題

次の対数不等式を解け．

${\displaystyle {\left({\log }_{\frac{1}{2}}x\right)}^2-{\log }_{\frac{1}{2}}x<2}$

■動画解説

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■答

${\displaystyle \frac{1}{4}<x<2}$

■解き方

真数条件より

${\displaystyle x>0}$ ･･････(1)

となる．

${\displaystyle {\log }_{\frac{1}{2}}x=X}$ とおく．

${\displaystyle X^2-X<2}$

${\displaystyle X^2-X-2<0}$

${\displaystyle \left(X-2\right)\left(X+1\right)<0}$

よって

${\displaystyle -1<X<2}$

${\displaystyle -1<{\log }_{\frac{1}{2}}x<2}$

${\displaystyle {\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}<{\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)<{\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}$

底の値 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ は， ${\displaystyle 0<\frac{1}{2}<1}$ より，真数の大小関係は対数の大小関係と逆になる.

${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}>x>{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}$

${\displaystyle \frac{1}{4}<x<2}$ ･･････(2)

(2)は(1)を満たす．

したがって

${\displaystyle \frac{1}{4}<x<2}$

となる．

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日

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