基本的な対数関数の計算

■問題

${\displaystyle {log}_2\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle -\frac{3}{2}}$

■ヒント

(1) ${\displaystyle {log}_2\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)=x}$ とおいて解く．

(2)対数の性質を利用して解く．

■解き方

(1) ${\displaystyle {log}_2\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)=x}$ とおく．

${\displaystyle {log}_2\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)=x}$ ⇔ ${\displaystyle 2^x=\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)}$ (対数の定義参照)

${\displaystyle 2^x=\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)}$

${\displaystyle ={\left(\sqrt{8}\right)}^{-1}}$ (ここを参照)

${\displaystyle ={\left(\sqrt{2^3}\right)}^{-1}}$

${\displaystyle ={\left\{{\left(2^3\right)}^{\frac{1}{2}}\right\}}^{-1}}$ (ここを参照)

${\displaystyle ={\left(2^{3\times \frac{1}{2}}\right)}^{\left(-1\right)}}$ (∵ ${\displaystyle {\left(a^r\right)}^s=a^{rs}}$ )

${\displaystyle =2^{3\times \frac{1}{2}\times \left(-1\right)}}$

$=2^{-\frac{3}{2}}$

すなわち

${\displaystyle 2^x=2^{-\frac{3}{2}}}$

両辺とも底が $2$ と同じてある．よって，指数同士も等しくなる．

${\displaystyle x=-\frac{3}{2}}$

　

(2)対数の性質を使って解く．

${\displaystyle {log}_2\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)}$ ${\displaystyle ={\log }_2{\left(\sqrt{8}\right)}^{-1}}$

${\displaystyle ={log}_2{2}^{-\frac{3}{2}}}$

${\displaystyle =-\frac{3}{2}{log}_{2}2}$ (∵ ${log}_a{R}^t=t{log}_{a}R$ )

${\displaystyle =-\frac{3}{2}}$ (∵ ${\log }_{a}a=1$ )

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日