ルートを含む計算問題

■問題

次の式を簡単にせよ

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}$ $\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}$

■解説動画

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■答

$3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}$ $3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}$

■解き方

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}$ $\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}$ $= \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}$ $= \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}$ （分母を簡単な式にするために，分母を通分する）

$= \frac{1}{\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}$ $= \frac{1}{\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}$

$= \frac{1 \times \sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{6}} \times \sqrt{6}}$ $= \frac{1 \times \sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{6}} \times \sqrt{6}}$

分母を簡単にするために，分母・分子に $\sqrt{6}$ $\sqrt{6}$ を掛ける．分数式の計算測1を参照

$= \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ $= \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{6} (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})}$ $= \frac{\sqrt{6} (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})}$

分母を有理化するために，分母・分子に $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ を掛ける．分数式の計算測1を参照

$= \frac{\sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} \sqrt{2}}{3 - 2}$ $= \frac{\sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} \sqrt{2}}{3 - 2}$

$= (\sqrt{2} \sqrt{3}) \sqrt{3} - (\sqrt{2} \sqrt{3}) \sqrt{2}$ $= (\sqrt{2} \sqrt{3}) \sqrt{3} - (\sqrt{2} \sqrt{3}) \sqrt{2}$

$= \sqrt{2} {(\sqrt{3})}^{2} - \sqrt{3} {(\sqrt{2})}^{2}$ $= \sqrt{2} {(\sqrt{3})}^{2} - \sqrt{3} {(\sqrt{2})}^{2}$

$= 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}$ $= 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}$

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最終更新日： 2025年2月9日

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