関数のべき級数展開

■問題

$5 x e^{6 x}$

$f (x) = e^{x}$ のべき級数展開は

$e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + \cdot \cdot \cdot$

したがって， $x$ に $6 x$ を代入する．

そして，両辺に $5 x$ をかける．

$e^{6 x}$ $= 1 + 6 x + \frac{1}{2!} {(6 x)}^{2} + \frac{1}{3!} {(6 x)}^{3} + \cdot \cdot \cdot$ 　　（マクローリン展開の公式を利用する．）

$= 1 + 6 x + \frac{36}{2} x^{2} + \frac{216}{6} x^{3} + \cdot \cdot \cdot$

$= 1 + 6 x + 18 x^{2} + 36 x^{3} + \cdot \cdot \cdot$

そして，両辺に $5 x$ をかける．

$5 x e^{6 x}$ $= 5 x + 30 x^{2} + 90 x^{3} + 180 x^{4} + \cdot \cdot \cdot$

学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日