問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

関数のべき級数展開

■問題

次の関数をべき級数展開（マクローリン展開）をせよ．

${\displaystyle log\frac{1+2x}{1-2x}}$

■ヒント

対数の性質の${\displaystyle {log}_a\frac{R}{S}={log}_{a}R-{log}_{a}S}$ を利用して式を変形する．

各項を ${\displaystyle f\left(x\right)=\log \left(1+x\right)}$ の形に変形し， べき級数展開を行う．

${\displaystyle f\left(x\right)=\log \left(1+x\right)}$ の べき級数展開は，

${\displaystyle \log \left(1+x\right)}$${\displaystyle =x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4}$${\displaystyle +\cdots \cdots +\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}\left(n-1\right)!}{n!}{x}^n+\cdots }$

となる．

これの ${\displaystyle x}$ に ${\displaystyle 2x,-2x}$ をそれぞれ代入して計算する．

■答

${\displaystyle \log \frac{1+2x}{1-2x}=\log \left(1+2x\right)-\log \left(1-2x\right)}$

（対数の性質を利用する．）

各項を別々に計算すると，

${\displaystyle \log \left(1+2x\right)}$${\displaystyle =2x-\frac{1}{2}{\left(2x\right)}^2+\frac{1}{3}{\left(2x\right)}^3}$${\displaystyle -\frac{1}{4}{\left(2x\right)}^4+\frac{1}{5}{\left(2x\right)}^5-\frac{1}{6}{\left(2x\right)}^6+\cdots }$

${\displaystyle =2x-\frac{4}{2}{x}^2+\frac{8}{3}{x}^3-\frac{16}{4}{x}^4+\frac{32}{5}{x}^5}$${\displaystyle -\frac{64}{6}{x}^6+\cdot \cdot \cdot }$

${\displaystyle =2x-2x^2+\frac{8}{3}{x}^3-4x^4+\frac{32}{5}{x}^5-}$${\displaystyle \frac{32}{3}{x}^6+\cdot \cdot \cdot }$

${\displaystyle \log (1-2x)=\log \left\{1+\left(-2x\right)\right\}}$

${\displaystyle =-2x-\frac{1}{2}{\left(-2x\right)}^2+\frac{1}{3}{\left(-2x\right)}^3}$${\displaystyle -\frac{1}{4}{\left(-2x\right)}^4+\frac{1}{5}{\left(-2x\right)}^5}$${\displaystyle -\frac{1}{6}{\left(-2x\right)}^6}$${\displaystyle +\cdots }$

${\displaystyle =-2x-\frac{4}{2}{x}^2-\frac{8}{3}{x}^3-\frac{16}{4}{x}^4-\frac{32}{5}{x}^5}$${\displaystyle -\frac{64}{6}{x}^6-\cdot \cdot \cdot }$

${\displaystyle =-2x-2x^2-\frac{8}{3}{x}^3-4x^4-\frac{32}{5}{x}^5}$${\displaystyle -\frac{32}{3}{x}^6-\cdot \cdot \cdot }$

となるので

よって，

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>級数展開>>問題演習>>関数のべき級数展開

学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)