関数のべき級数展開

■問題

次の関数をべき級数展開（マクローリン展開）をせよ．

$log (1 + 2 x + 3 x^{2})$

■ヒント

$log (1 + 2 x + 3 x^{2}) = log {1 + x (2 + 3 x)}$ とおく．

$f (x) = log (1 + x)$ のべき級数展開は，

$log (1 + x) = x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{4} + \cdot \cdot \cdot$

したがって， $x$ に $x (2 + 3 x)$ を代入する

■答

$log (1 + 2 x + 3 x^{2})$

$= log {1 + x (2 + 3 x)}$

$= x (2 + 3 x) - \frac{1}{2} {x (2 + 3 x)}^{2}$ $+ \frac{1}{3} {x (2 + 3 x)}^{3}$ $- \frac{1}{4} {x (2 + 3 x)}^{4}$ $+ \cdot \cdot \cdot$

$= (2 x + 3 x^{2}) - \frac{1}{2} (4 x^{2} + 12 x^{3} + 9 x^{4})$ $+ \frac{1}{3} (8 x^{3} + 36 x^{4} + 54 x^{5} + 27 x^{6})$ $- \frac{1}{4} (16 x^{4} + 96^{5} + 216 x^{6} + 216 x^{7} + 81 x^{8}) + \cdot \cdot \cdot$

$= 2 x + (3 x^{2} - 2 x^{2}) + (- 6 x^{3} + \frac{8}{3} x^{3})$ $+ (- \frac{9}{2} x^{4} + 12 x^{4} - 4 x^{4})$ $+ (18 x^{5} - 24 x^{5})$ $+ (9 x^{6} - 54 x^{6})$ $- 216 x^{7} - 81 x^{8} + \cdot \cdot \cdot$

$= 2 x + x^{2} - \frac{10}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{4} + \cdot \cdot \cdot$

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日