問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

等差数列の一般項と和

■問題

次の数列の一般項${\displaystyle a_n}$ と初項から第15項までの和${\displaystyle S_{15}}$ を求めよ．

${\displaystyle 30,26,22,18,14,\cdot \cdot \cdot }$

■答

${\displaystyle a_n}$${\displaystyle =-4n+34}$

${\displaystyle S_{15}=30}$

■ヒント

等差数列の一般項の公式

${\displaystyle a_n=a_1+\left(n-1\right)d}$　(ただし，${\displaystyle a_1}$は初項，${\displaystyle d}$は公差)

を用いる．

次に初項から第15項までの和${\displaystyle S_{15}}$ は，等差数列の和の公式

${\displaystyle S_n=\frac{n\left\{2a_1+\left(n-1\right)d\right\}}{2}}$

を用いる．

■解き方

等差数列の一般項${\displaystyle a_n}$は

    ${\displaystyle a_n=a_1+\left(n-1\right)d}$

である．

初項 ${\displaystyle a_1=30}$ ，公差 ${\displaystyle d=-4}$ より

${\displaystyle a_n}$${\displaystyle =30+\left(n-1\right)(-4)}$${\displaystyle =30-4n+4}$${\displaystyle =-4n+34}$

次に，等差数列の和の公式

${\displaystyle S_n=\frac{n\left\{2a_1+\left(n-1\right)d\right\}}{2}}$

より

${\displaystyle S_{15}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\times 15\left\{2\times 30+\left(15-1\right)\left(-4\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{15}{2}\left\{60+\left(14\right)\left(-4\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{15}{2}\left(60-56\right)}$

${\displaystyle =\frac{15}{2}\times 4}$

${\displaystyle =30}$

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日

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