等比数列の和

■問題

等比数列 $21, - 7, \frac{7}{3}, - \frac{7}{9}, \frac{7}{27}, \cdot \cdot \cdot$ $21, - 7, \frac{7}{3}, - \frac{7}{9}, \frac{7}{27}, \cdot \cdot \cdot$ の初項から第6項までの和 $S_{6}$ $S_{6}$ を求めよ．

■答

$S_{6}$ $S_{6}$ = $\frac{1274}{81}$ $\frac{1274}{81}$

■ヒント

一般項 $a_{n}$ $a_{n}$ は，等比数列の一般項の公式

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

を用いて求める．

次に初項から第n項までの和 $S_{n}$ $S_{n}$ は，等比数列の和の公式

$S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}$ $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}$

を用いて求める．

■解説

与えられた等比数列は，初項 $a_{1} = 21$ $a_{1} = 21$ ，公比 $r = - \frac{1}{3}$ $r = - \frac{1}{3}$ であるから，その一般項 $a_{n}$ $a_{n}$ は

$a_{n}$ $a_{n}$ $= 21 \times {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ $= 21 \times {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

( 等比数列の一般項の公式 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ より)

次に， $n = 6$ $n = 6$ であるから，初項から第6項までの和 $S_{6}$ $S_{6}$ は

$S_{6}$ $S_{6}$ $= \frac{21 {1 - {(- \frac{1}{3})}^{6}}}{1 - (- \frac{1}{3})}$ $= \frac{21 {1 - {(- \frac{1}{3})}^{6}}}{1 - (- \frac{1}{3})}$

(等比数列の和の公式 $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}$ $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}$ より)

$= \frac{21 (1 - \frac{1}{729})}{\frac{4}{3}}$ $= \frac{21 (1 - \frac{1}{729})}{\frac{4}{3}}$

$= \frac{21 \times \frac{728}{729} \times 729 \times 3}{\frac{4}{3} \times 3 \times 729}$ $= \frac{21 \times \frac{728}{729} \times 729 \times 3}{\frac{4}{3} \times 3 \times 729}$

$= \frac{21 \times 728 \times 3}{4 \times 729}$ $= \frac{21 \times 728 \times 3}{4 \times 729}$

$= \frac{7 \times 182}{81}$ $= \frac{7 \times 182}{81}$

$= \frac{1274}{81}$ $= \frac{1274}{81}$

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日