問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

等比数列の和

■問題

等比数列   ${\displaystyle 21,-7,\frac{7}{3},-\frac{7}{9},\frac{7}{27},\cdot \cdot \cdot }$ の初項から第6項までの和${\displaystyle S_6}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle S_6}$=${\displaystyle \frac{1274}{81}}$

■ヒント

一般項${\displaystyle a_n}$ は，等比数列の一般項の公式

$a_n=a_1{r}^{n-1}$

を用いて求める．

次に初項から第n項までの和${\displaystyle S_n}$ は，等比数列の和の公式

${\displaystyle S_n=\frac{a_1\left(1-r^n\right)}{1-r}}$

を用いて求める．

■解説

与えられた等比数列は，初項 ${\displaystyle a_1=21}$ ，公比${\displaystyle r=-\frac{1}{3}}$ であるから，その一般項 ${\displaystyle a_n}$ は

${\displaystyle a_n}$ ${\displaystyle =21\times {\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n-1}}$

( 等比数列の一般項の公式 ${\displaystyle a_n=a_1{r}^{n-1}}$より)

次に，${\displaystyle n=6}$ であるから，初項から第6項までの和${\displaystyle S_6}$は

${\displaystyle S_6}$ ${\displaystyle =\frac{21\left\{1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^6\right\}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}}$

(等比数列の和の公式 ${\displaystyle S_n=\frac{a_1\left(1-r^n\right)}{1-r}}$より)

${\displaystyle =\frac{21\left(1-\frac{1}{729}\right)}{\frac{4}{3}}}$

${\displaystyle =\frac{21\times \frac{728}{729}\times 729\times 3}{\frac{4}{3}\times 3\times 729}}$

${\displaystyle =\frac{21\times 728\times 3}{4\times 729}}$

${\displaystyle =\frac{7\times 182}{81}}$

${\displaystyle =\frac{1274}{81}}$

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日

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