問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

等比数列の応用

■問題

毎年のはじめに${\displaystyle 200,000}$ ずつ積み立てるとき，${\displaystyle 15}$年後の積立金の元利合計を，年利率${\displaystyle 0.3}$ ％，${\displaystyle 1}$ 年ごとの複利で求めよ．ただし， ${\displaystyle {1.003}^{15}=1.046}$ とする．

■ヒント

題意から，初項，公比，項数を導き，等比数列に当てはめて考える．

題意から導いた数列の和は，等比数列の和の公式

${\displaystyle S_n=\frac{a_1\left(r^n-1\right)}{r-1}}$

を用いて求める．

■答

積立１回に対する1年後，2年後，3年後，・・・の元利合計は

${\displaystyle 200000\left(1+0.003\right),}$ ${\displaystyle 200000{\left(1+0.003\right)}^2,}$ ${\displaystyle 200000{\left(1+0.003\right)}^3,\cdot \cdot \cdot }$

という等比数列となる．つまり

初項:${\displaystyle a_1=200000\left(1+0.003\right)}$ ，公比: ${\displaystyle r=\left(1+0.003\right)=1.003}$

である．

よって，15年後の元利合計を${\displaystyle S_{15}}$ とすると

${\displaystyle S_{15}}$ ${\displaystyle =\frac{200000\left(1+0.003\right)\left({1.003}^{15}-1\right)}{1.003-1}}$

( 等比数列の和の公式 ${\displaystyle S_n=\frac{a_1\left(r^n-1\right)}{r-1}}$より)

${\displaystyle =\frac{200000\times 1.003\left(1.046-1\right)}{0.003}}$

(与えられている${\displaystyle {1.003}^{15}=1.046}$を用いた)

${\displaystyle =3075866.7}$

よって，約${\displaystyle \mathrm{3075,867}}$円となる．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年10月7日

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