数列の極限

■問題

${\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^{1-1}}{1},\frac{{\left(-1\right)}^{2-1}}{2},\frac{{\left(-1\right)}^{3-1}}{3},\cdot \cdot \cdot ,\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n},\cdot \cdot \cdot }$ の行列，すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項 ${\displaystyle a_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n}}$ となる行列の極限

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n}=0}$

■方針

与式を分子・分母に分け， ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときの値を調べる．
最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

${\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n}}$ は，分子は${\displaystyle 1}$ または${\displaystyle -1}$ で，${\displaystyle n}$ が大きくなると分母${\displaystyle n}$ は大きくなるので，
${\displaystyle n\to \infty }$ ならば，${\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n}}$ は${\displaystyle 0}$ に収束する．
よって，

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n}=0}$

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学生スタッフ作成

初版：2009年7月24日，最終更新日： 2010年11月19日