問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \frac{2-6}{1+8},\frac{16-6}{2+8},\frac{54-6}{3+8},\cdot \cdot \cdot }$${\displaystyle ,\frac{2n^3-6}{n+8}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

の，すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{2n^3-6}{n+8}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2n^3-6}{n+8}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2n^3-6}{n+8}=\infty }$

■ヒント

直接 ${\displaystyle n\to \infty }$ とすると， ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ の形になる．従って，分母の変数の中で最も次数の高いもので分子・分母を割る．

式を変形した後， ${\displaystyle n}$ が含まれている項のみ， ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときの値を調べる．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{2n^3-6}{n+8}}$${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2n^2-\frac{6}{n}}{1+\frac{8}{n}}}$

${\displaystyle n}$ が含まれていない項は一定であるから， ${\displaystyle 2n^2,\frac{6}{n},\frac{8}{n}}$ の ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときの値を調べれば良い．

${\displaystyle \left[1\right]}$ ${\displaystyle 2n^2}$

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle 2n^2}$ は正の無限大に発散する．

${\displaystyle \left[2\right]}$ ${\displaystyle \frac{6}{n}}$

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle \frac{6}{n}}$ は${\displaystyle 0}$ に収束する．

${\displaystyle \left[3\right]}$ ${\displaystyle \frac{8}{n}}$

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle \frac{8}{n}}$ は${\displaystyle 0}$ に収束する．

${\displaystyle \left[1\right],\left[2\right],\left[3\right]}$ より

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{2n^3-6}{n+8}=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2n^2-\frac{6}{n}}{1+\frac{8}{n}}}$${\displaystyle =\frac{\infty -0}{1+0}}$${\displaystyle =\infty }$

よって，与式は正の無限大に発散する．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日

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