問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7+4}},\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{14+4}},\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{21+4}},\cdot \cdot \cdot }$${\displaystyle ,\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}=\frac{\sqrt{21}}{7}}$

■ヒント

すぐに ${\displaystyle n\to \infty }$ とすると， ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ の形になってしまう．

したがって，分母の変数の中で最も次数の高いもので割る．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{\frac{3n}{7n+4}}}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{\frac{3}{7+\frac{4}{n}}}}$

${\displaystyle n\to \infty }$ の時，${\displaystyle \frac{4}{n}}$ は ${\displaystyle 0}$ になる．

${\displaystyle =\sqrt{\frac{3}{7}}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$

有理化する．

${\displaystyle =\frac{\sqrt{21}}{7}}$

すなわち，与式は ${\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{7}}$ に収束する．

　

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>問題演習>>数列の極限に関する問題

学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)