数列の極限に関する問題

■問題

数列

$\sqrt{1} (\sqrt{1 + 2} - \sqrt{1}),$ $\sqrt{2} (\sqrt{2 + 2} - \sqrt{2}),$ $\sqrt{3} (\sqrt{3 + 2} - \sqrt{3}), \cdot \cdot \cdot,$ $\sqrt{n} (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}), \cdot \cdot \cdot$

すなわち第 $n$ 項

$a_{n} = \sqrt{n} (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n})$

となる数列の極限値

$lim_{n \to \infty} a_{n}$ $= lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n})$

を求めよ．

■答

$lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n})$ $= 1$

■ヒント

$\frac{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}$ を掛ける．

式を変形した後， $n$ が含まれている項のみ， $n$ が $\infty$ になったときの値を調べる．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

直接 $n \to \infty$ とすると， $\infty (\infty - \infty)$ の形になる．従って， $\frac{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}$ を掛けて，値が定まらない $\infty - \infty$ が消えるように式を変形する．

備考： $\frac{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}} = 1$ より， $\frac{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}$ を掛けても値はかわらない．

$lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n})$

$= \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}) \frac{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}$

$= lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}) (\sqrt{n + 2} + \sqrt{n})}{(\sqrt{n + 2} + \sqrt{n})}$

$= lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} (n + 2 - n)}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}$

$= lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} \times 2}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}$

分母の変数の中で最も $n$ 次数の高い $\sqrt{n}$ で，分子・分母を割る．

$= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{n} \times 2}{\sqrt{n}}}{\frac{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n}}}$

$= lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1}$

$n$ が含まれていない項は一定であるから， $\frac{2}{n}$ の $n$ が $\infty$ になったときの値を調べれば良い．

$n \to \infty$ ならば， $\frac{2}{n}$ は $0$ に収束する．よって

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n})$ $= \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1}$ $= \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + 1}$ $= \frac{2}{\sqrt{1} + 1}$ $= \frac{2}{1 + 1}$ $= \frac{2}{2} = 1$

よって，与式は $1$ に収束する．

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最終更新日： 2024年9月11日