問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \sqrt{1}\left(\sqrt{1+2}-\sqrt{1}\right),}$ ${\displaystyle \sqrt{2}\left(\sqrt{2+2}-\sqrt{2}\right),}$ ${\displaystyle \sqrt{3}\left(\sqrt{3+2}-\sqrt{3}\right),\cdot \cdot \cdot ,}$ ${\displaystyle \sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right),\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n}$ ${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}$

を求めよ．

■解説動画

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■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}$ ${\displaystyle =1}$

■ヒント

${\displaystyle \frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}}$ を掛ける．

式を変形した後， ${\displaystyle n}$ が含まれている項のみ， ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときの値を調べる．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

直接 ${\displaystyle n\to \infty }$ とすると， ${\displaystyle \infty \left(\infty -\infty \right)}$ の形になる．従って， ${\displaystyle \frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}}$ を掛けて，値が定まらない ${\displaystyle \infty -\infty }$ が消えるように式を変形する．

備考： ${\displaystyle \frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=1}$ より， ${\displaystyle \frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}}$ を掛けても値はかわらない．

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{n}\left(n+2-n\right)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{n}\times 2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}}$

分母の変数の中で最も $n$ 次数の高い $\sqrt{n}$ で，分子・分母を割る．

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{\sqrt{n}\times 2}{\sqrt{n}}}{\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}}}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}}$

${\displaystyle n}$ が含まれていない項は一定であるから， ${\displaystyle \frac{2}{n}}$ の ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときの値を調べれば良い．

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle \frac{2}{n}}$ は ${\displaystyle 0}$ に収束する．よって

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}$ ${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{1+0}+1}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{1}+1}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{1+1}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{2}=1}$

よって，与式は ${\displaystyle 1}$ に収束する．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年2月21日

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