ベクトルの計算問題

■問題

$\vec{a} = (1, 3)$ をベクトルの始点を中心として反時計回りに60°回転したベクトルを求めよ．

■答

$(\frac{1 - 3 \sqrt{3}}{2}, \frac{3 + \sqrt{3}}{2})$

■ヒント

基本ベクトル表示を用い，その基本ベクトルを反時計方向に60°回転させる．

■別解の解説

$\vec{a}$ を基本ベクトル $\vec{e_{1}} = (1, 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (0, 1)$ を用いて表すと

$\vec{a} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ･･････(1)

となる．

$\vec{e_{1}}$ を原点を中心に反時計周りに60°回転させたベクトルを $\vec{e_{1}^{'}}$ とすると(ここを参照)

$\vec{e_{1}^{'}} = (\cos 60 °, \sin 60 °)$ $= (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ $= \frac{1}{2} \vec{e_{1}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{e_{2}}$ 　･･････(2)

$\vec{e_{2}}$ を原点を中心に反時計周りに60°回転させたベクトルを $\vec{e_{2}^{'}}$ とすると

$\vec{e_{2}^{'}} = (- \sin 60 °, \cos 60 °)$ $= (- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ $= - \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{e_{1}} + \frac{1}{2} \vec{e_{2}}$ 　･･････(3)

となる．

$\vec{a}$ を原点を中心に反時計周りに60°回転させたベクトルを $\vec{a^{'}}$ とする．

$\vec{a}$ ， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ の3つのベクトルの相対関係と $\vec{a^{'}}$ ， $\vec{e_{1}^{'}}$ ， $\vec{e_{2}^{'}}$ の3つのベクトルの相対関係は等しい．よって，(1)より

$\vec{a^{'}} = \vec{e_{1}^{'}} + 3 \vec{e_{1}^{'}}$ 　･･････(4)

が得られる．

$\vec{a^{'}} = \frac{1}{2} \vec{e_{1}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{e_{2}} + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{e_{1}} + \frac{1}{2} \vec{e_{2}})$

$= \frac{1 - 3 \sqrt{3}}{2} \vec{e_{1}} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \vec{e_{2}}$

$= (\frac{1 - 3 \sqrt{3}}{2}, \frac{3 + \sqrt{3}}{2})$

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最終更新日： 2025年10月9日