ベクトルの計算問題

■問題

座標平面において，点$\text{Q}$と点$\text{R}$があり， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(1,2\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{r}=\left(4,3\right)}$ とする．ベクトル方程式が， ${\displaystyle \overrightarrow{p}=2s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ，ただし， ${\displaystyle s+t=1}$ のとき，${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{\text{OP}}}$ とすると点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ はどのような曲線(直線を含む)上にあるか答えよ．

■答

直線 ${\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+5}$

■ヒント

点が直線上にあるための条件を参考する．

■解説

${\displaystyle \overrightarrow{p}=2s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ･･････(1)

${\displaystyle {\displaystyle s+t=1}}$ ･･････(２)

とおく

(２)より

${\displaystyle s=1-t}$ ･･････(3)

(3)を(1)に代入すると

${\displaystyle \overrightarrow{p}=2\left(1-t\right)\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ･･････(4)

となる．(4)を以下のように式変形する．

${\displaystyle \overrightarrow{p}=2\overrightarrow{q}-2t\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$

${\displaystyle \overrightarrow{p}=2\overrightarrow{q}-t\left(\overrightarrow{r}-2\overrightarrow{q}\right)}$ ･･････(5)

(5)は点${\displaystyle \text{A}\left(2\overrightarrow{q}\right)}$ を通り，方向ベクトルが${\displaystyle \overrightarrow{r}-2\overrightarrow{q}}$ を通る直線のベクトル方程式である．

${\displaystyle 2\overrightarrow{q}=2\left(1,2\right)=\left(2,4\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{r}-2\overrightarrow{q}=\left(4,3\right)-2\left(1,2\right)}$${\displaystyle =\left(2,-1\right)}$

より，点${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ は，点${\displaystyle \left(2,4\right)}$ を通り，方向ベクトルが ${\displaystyle \left(2,-1\right)}$の直線上にある．

直線の方程式を求める.

方向ベクトルより，直線の傾きは${\displaystyle -\frac{1}{2}}$ となる．よって，直線の方程式は

${\displaystyle y-4=-\frac{1}{2}\left(x-2\right)}$

${\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+5}$

となる．

　

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最終更新日： 2025年11月14日