平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の3点${\displaystyle \text{A}\left(1,1,-2\right)}$ ，${\displaystyle \text{B}\left(1,-1,2\right)}$ ，${\displaystyle \text{C}\left(2,2,1\right)}$ を通る平面の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle 5x-2y-z-5=0}$

■ヒント

点 ${\displaystyle \text{A}\left(x_1,y_1,z_1\right)}$ を通り，法線ベクトル${\displaystyle \overrightarrow{n}=(a,b,c)}$ の 平面の方程式

${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ 　 (法線ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{n}=(a,b,c)}$ )　　　

を用いる．

■解説

平面の方程式を

${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$　　･･････(1)

とすると

${\displaystyle a+b-2c+d=0}$　･･････(2)   （ ${\displaystyle \text{A}\left(1,1,-2\right)}$ が平面上にあるから）
${\displaystyle a-b+2c+d=0}$　･･････(3)    ( ${\displaystyle \text{B}\left(1,-1,2\right)}$ が平面上にあるから)
${\displaystyle 2a+2b+c+d=0}$　･･････(4)   ( ${\displaystyle \text{C}\left(2,2,1\right)}$ が平面上にあるから)

これら3式の連立方程式を解く

(2)-(3)より

${\displaystyle 2b-4c=0}$ ，${\displaystyle b=2c}$　･･････(5)

(3)-(4)より

${\displaystyle -a-3b+c=0}$　･･････(6)

(5)に(6)を代入する

${\displaystyle -a-3\left(2c\right)+c=0}$，${\displaystyle a=-5c}$　･･････(7)

(5)，(7)を(2)に代入する

${\displaystyle -5c+2c-2c+d=0}$ ，${\displaystyle d=5c}$　･･････(8)

(5)，(7)，(8)をまとめると

${\displaystyle a=-5c,b=2c,d=5c}$

という結果が得られる．

これらを平面の方程式に代入すると

${\displaystyle -5cx+2cy+cz+5c=0}$

となる．両辺を${\displaystyle -c}$ で割ると平面の方程式

${\displaystyle 5x-2y-z-5=0}$

が求まる．

●別解1：始めに法線ベクトルを求める方法

●別解2：外積を用いた解法

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月15日