問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の3点 A( 2,1,2 ) B( 1,3,1 ) C( 1,1,2 ) を通る平面の方程式を求めよ.

■答

2xy4z+5=0

■ヒント

A( x 1 , y 1 , z 1 ) を通り,法線ベクトル n =(a,b,c) 平面の方程式

ax+by+cz+d=0

を用いる.

■答

平面の方程式を

ax+by+cz+d=0   ・・・・・・(1)

とすると

2a+b+2c+d=0  ・・・・・・(2)  A ( 2 , 1 , 2 ) が平面上にあるから )

a+3b+c+d=0  ・・・・・・(3) ( B ( 1 , 3 , 1 ) が平面上にあるから )      

ab+2c+d=0  ・・・・・・(4) ( C ( 1 , 1 , 2 ) が平面上にあるから)

これら3式の連立方程式を解く

(3)-(4)より

4bc=0 c=4b  ・・・・・・(5)

(2)-(3)より

a2b+c=0  ・・・・・・(6)

(5)に(6)を代入すると

a2b+4b=0 a=2b  ・・・・・・(7)

(5),(7)を(4)に代入すると

2bb+2 4b +d=0 d=5b  ・・・・・・(8)

(5),(7),(8)をまとめると

a = 2 b , c = 4 b , d = 5 b

という結果が得られる.

これらを,平面の方程式(1)に代入すると

2bx+by+4bz5b=0

となる.両辺を b で割ると平面の方程式

2xy4z+5=0

が求まる.


別解


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学生スタッフ
最終更新日: 2023年2月15日

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