微分演算子の線形性

導関数の基本式?Tを微分演算子 $3$\displaystyle{D}$ を用いて表すと以下のようになる．

1	$3$\displaystyle{D \{c\} =0}$	$3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{{ \{c\} }^{\prime }=0}$	参照ページ
2	$3$\displaystyle{ D \{ cf $x$ \} }$ $3$\displaystyle{ =cD \{ f $x$ \} }$	$3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{ { \{ cf $x$ \} }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ =c{ \{ f $x$ \} }^{\prime } }$	参照ページ
3	$3$\displaystyle{ D \{ f $x$ \pm g $x$ \} }$ $3$\displaystyle{ =Df $x$ \pm Dg $x$ }$	$3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{ { \{ f $x$ \pm g $x$ \} }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ ={ \{ f $x$ \} }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ \pm { \{ g $x$ \} }^{\prime } }$	参照ページ
4	$3$\displaystyle{ D \{ f $x$ g $x$ \} }$ $3$\displaystyle{ = \{ Df $x$ \} g $x$ }$ $3$\displaystyle{ +f $x$ \{ Dg $x$ \} }$	$3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{ { \{ f $x$ g $x$ \} }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ ={ \{ f $x$ \} }^{\prime }g $x$ }$ $3$\displaystyle{ +f $x$ { \{ g $x$ \} }^{\prime } }$	参照ページ
5	$3$\displaystyle{ D \{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $x$ \hspace{2}}\} }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2} Df $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}{ \{ f $x$ \} }^{2}\hspace{2}} }$	$3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{ { \{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $x$ \hspace{2}}\} }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2} {f}^{\prime } $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}{ \{ f $x$ \} }^{2}\hspace{2}} }$	参照ページ
6	$3$\displaystyle{ D \{\frac{\hspace{2} f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} g $x$ \hspace{2}}\} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \{ Df $x$ \} g $x$ - f $x$ \{ Dg $x$ \} \hspace{2}}{\hspace{2}{ \{ g $x$ \} }^{2}\hspace{2}} }$	$3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{ { \{\frac{\hspace{2} f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} g $x$ \hspace{2}}\} }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} { \{ f $x$ \} }^{\prime }g $x$ - f $x$ { \{ g $x$ \} }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2}{ \{ g $x$ \} }^{2}\hspace{2}} }$	参照ページ

2，3より微分演算子 $3$\displaystyle{D}$ は線形である．

$3$\displaystyle{D \{ ky \} =kDy}$

$3$\displaystyle{ {D}^{2} \{ ky \} =DD \{ ky \} =D \{ Dky \} }$ $3$\displaystyle{ =D \{ kDy \} }$ $3$\displaystyle{ =k \{ D $ Dy $ \} =k{D}^{2}y }$

$3$\displaystyle{{D}^{n} \{ ky \} =k{D}^{n}y}$

となる．

$3$\displaystyle{f $D$ }$ は多項式であるので

$3$\displaystyle{f $D$ \{ ky \} =kf $D$ y}$ ･･････(1)

が成り立つ．

$3$\displaystyle{ D \{ y+z \} =Dy+Dz }$

$3$\displaystyle{ {D}^{2} \{ y+z \} =D \{ D $ y+z $ \} }$ $3$\displaystyle{ =D \{ Dy+Dz \} }$ $3$\displaystyle{ =D \{ Dy \} +D \{ Dz \} }$ $3$\displaystyle{ ={D}^{2}y+{D}^{2}z }$

$3$\displaystyle{{D}^{n} \{ y+z \} ={D}^{n}y+{D}^{n}z}$

となる．

$3$\displaystyle{f $D$ }$ は多項式であるので

$3$\displaystyle{f $D$ \{ y+z \} =f $D$ y+f $D$ z}$ ･･････(2)

が成り立つ．

(1)(2)より $3$\displaystyle{f $D$ }$ は線形である．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月17日

1	$3$\displaystyle{D \{c\} =0}$	$3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{{ \{c\} }^{\prime }=0}$	参照ページ
2	$3$\displaystyle{ D \{ cf \(x\) \} }$ $3$\displaystyle{ =cD \{ f \(x\) \} }$	$3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{ { \{ cf \(x\) \} }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ =c{ \{ f \(x\) \} }^{\prime } }$	参照ページ
3	$3$\displaystyle{ D \{ f \(x\) \pm g \(x\) \} }$ $3$\displaystyle{ =Df \(x\) \pm Dg \(x\) }$	$3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{ { \{ f \(x\) \pm g \(x\) \} }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ ={ \{ f \(x\) \} }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ \pm { \{ g \(x\) \} }^{\prime } }$	参照ページ
4	$3$\displaystyle{ D \{ f \(x\) g \(x\) \} }$ $3$\displaystyle{ = \{ Df \(x\) \} g \(x\) }$ $3$\displaystyle{ +f \(x\) \{ Dg \(x\) \} }$	$3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{ { \{ f \(x\) g \(x\) \} }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ ={ \{ f \(x\) \} }^{\prime }g \(x\) }$ $3$\displaystyle{ +f \(x\) { \{ g \(x\) \} }^{\prime } }$	参照ページ
5	$3$\displaystyle{ D \{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f \(x\) \hspace{2}}\} }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2} Df \(x\) \hspace{2}}{\hspace{2}{ \{ f \(x\) \} }^{2}\hspace{2}} }$	$3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{ { \{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f \(x\) \hspace{2}}\} }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2} {f}^{\prime } \(x\) \hspace{2}}{\hspace{2}{ \{ f \(x\) \} }^{2}\hspace{2}} }$	参照ページ
6	$3$\displaystyle{ D \{\frac{\hspace{2} f \(x\) \hspace{2}}{\hspace{2} g \(x\) \hspace{2}}\} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \{ Df \(x\) \} g \(x\) - f \(x\) \{ Dg \(x\) \} \hspace{2}}{\hspace{2}{ \{ g \(x\) \} }^{2}\hspace{2}} }$	$3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{ { \{\frac{\hspace{2} f \(x\) \hspace{2}}{\hspace{2} g \(x\) \hspace{2}}\} }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} { \{ f \(x\) \} }^{\prime }g \(x\) - f \(x\) { \{ g \(x\) \} }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2}{ \{ g \(x\) \} }^{2}\hspace{2}} }$	参照ページ