微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} { $ 5x+1 $ }^{5} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{3}- 4 $ }^{4} \hspace{2}}}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=- \frac{\hspace{2} { $ 5x+1 $ }^{4} $ 35{x}^{3}+12{x}^{2}+100 $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{3}- 4 $ }^{5} \hspace{2}}}$

■ヒント

対数微分法を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} { $ 5x+1 $ }^{5} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{3}- 4 $ }^{4} \hspace{2}}}$

対数微分法を用いて計算する．両辺の絶対値の自然対数をとると

$3$\displaystyle{\log \|y\| =\log \| \frac{\hspace{2} { $ 5x+1 $ }^{5} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{3}- 4 $ }^{4} \hspace{2}} \| }$

となる．微分しやすいように右辺を式変形する．

$3$\displaystyle{ =\log \frac{\hspace{2}\left({{ $ 5x+ 1 $ }^{5}}\right)\hspace{2}}{\hspace{2}\left({{ $ {x}^{3}- 4 $ }^{4}}\right)\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{=\log \| { $ 5x+1 $ }^{5} \| - \log \| { $ {x}^{3}- 4 $ }^{4} \| }$ ∵対数の性質： $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}\frac{\hspace{2}R\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}=\hspace{1}{\log }_{a}R- \hspace{1}{\log }_{a}S}$

$3$\displaystyle{=\log {\left|{ \left({ 5x+1 }\right) }\right|}^{5}- \log {\left|{ \left({ {x}^{3}- 4 }\right) }\right|}^{4}}$

$3$\displaystyle{=5\log \| 5x+1 \| - 4\log \| {x}^{3}- 4 \| }$ ∵対数の性質： $3$\hspace{1}{\log }_{a}{R}^{t}=t\hspace{1}{\log }_{a}R$

両辺を $3$x$ で微分する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\text{\log }y }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\left({ 5\log \left|{ 5x+1 }\right|- 4\log \left|{ {x}^{3}- 4 }\right| }\right) }$

左辺の微分はここを，右辺の微分はここを参照

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=5\cdot \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 5x+1 \hspace{2}}- 4\cdot \frac{\hspace{2} 3{x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{3}- 4 \hspace{2}}}$

両辺に $3$y$ を掛けて式を整理する.

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=y\cdot $ \frac{\hspace{2} 25 \hspace{2}}{\hspace{2} 5x+1 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} 12{x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{3}- 4 \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { $ 5x+1 $ }^{5} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{3}- 4 $ }^{4} \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2} 25 \hspace{2}}{\hspace{2} 5x+1 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} 12{x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{3}- 4 \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { $ 5x+1 $ }^{5} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{3}- 4 $ }^{4} \hspace{2}} \{ \frac{\hspace{2} 25 $ {x}^{3}- 4 $ - 12{x}^{2} $ 5x+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ 5x+1 $ $ {x}^{3}- 4 $ \hspace{2}} \} }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { $ 5x+1 $ }^{5} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{3}- 4 $ }^{4} \hspace{2}} \{ - \frac{\hspace{2} 35{x}^{3}+12{x}^{2}+100 \hspace{2}}{\hspace{2} $ 5x+1 $ $ {x}^{3}- 4 $ \hspace{2}} \} }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} { $ 5x+1 $ }^{4} $ 35{x}^{3}+12{x}^{2}+100 $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{3}- 4 $ }^{5} \hspace{2}}}$

●別解

関数の商の微分の公式を使って計算する．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} { \{ { $ 5x+1 $ }^{5} \} }^{\prime }{ $ {x}^{3}- 4 $ }^{4}- { $ 5x+1 $ }^{5}{ \{ { $ {x}^{3}- 4 $ }^{4} \} }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { \{ { $ {x}^{3}- 4 $ }^{4} \} }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \{ 25{ $ 5x+1 $ }^{4} \} { $ {x}^{3}- 4 $ }^{4}- { $ 5x+1 $ }^{5} \{ 12{x}^{2}{ $ {x}^{3}- 4 $ }^{3} \} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{3}- 4 $ }^{8} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 25{ $ 5x+1 $ }^{4}{ $ {x}^{3}- 4 $ }^{4}- 12{x}^{2}{ $ 5x+1 $ }^{5}{ $ {x}^{3}- 4 $ }^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{3}- 4 $ }^{8} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { $ 5x+1 $ }^{4}{ $ {x}^{3}- 4 $ }^{3} \{ 25 $ {x}^{3}- 4 $ - 12{x}^{2} $ 5x+1 $ \} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{3}- 4 $ }^{8} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { $ 5x+1 $ }^{4} $ 25{x}^{3}- 100- 60{x}^{3}- 12{x}^{2} $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{3}- 4 $ }^{5} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} { $ 5x+1 $ }^{4} $ 35{x}^{3}+12{x}^{2}+100 $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{3}- 4 $ }^{5} \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年2月21日