微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$3$\displaystyle{y=\log $ \sin x $ }$

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\hspace{5}\prime \hspace{5}} = \cot x }$

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く．

■解説

$3$\displaystyle{y=\log $ \sin x $ }$

$3$\displaystyle{\log x}$ の微分の公式を用いる．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}\cdot { $ \sin x $ }^{\prime }}$ （ $3$\displaystyle{\sin x}$ の微分 ⇒ こちら）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}\cdot \cos x}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \tan x \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\cot x }$

(三角関数の相互関係，三角関数の定義を参照．)

合成関数の導関数において， $3$\displaystyle{y=f $u$ =\log u}$ ， $3$\displaystyle{u=g $x$ =\sin x}$ とと考え，公式 $3$\displaystyle{ { \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) \cdot {g}^{\prime } $x$ }$ を用いている．）

●公式 $3$\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}$ を用いる場合

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\log u=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}}}$ ここを参照

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\sin x=\cos x}$ ここを参照

よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}}\cdot \cos x}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \tan x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\cot x}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年3月8日

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■答

■ヒント

■解説

●公式 を用いる場合

●公式 $3$\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}$ を用いる場合