微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y={ \cos }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}\sqrt{ 1- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}} } \hspace{2}} }$

■ヒント

$3$\displaystyle{ { \cos }^{ - 1 }x }$ の微分と合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

$3$\displaystyle{ u=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$ とおくと $3$\displaystyle{ y={ \cos }^{ - 1 }u }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {u}^{2} } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}2{x}^{ - 1 }}$ $3$\displaystyle{=2\left({ - {x}^{ - 2 } }\right)}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {u}^{2} } \hspace{2}}\cdot $ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- { $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ }^{2} } \hspace{2}}\cdot $ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}\sqrt{ 1- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}} } \hspace{2}} }$

●別解

逆関数の微分の公式 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}} \hspace{2}}}$ を用いる．

$3$\displaystyle{ y={ \cos }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$ ･･････(1)

(1)を $3$\displaystyle{ \cos }$ を使って表すと

$3$\displaystyle{\cos y=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ ここを参照　･･････(2)

となる．(2)を $3$x$ について解く．

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \cos y \hspace{2}}}$ ･･････(3)

となる．(3)を $3$x$ に関して微分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=2\left({ - \frac{\hspace{2} - \sin y \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}y \hspace{2}} }\right)}$ 商の微分， $3$\displaystyle{ \cos }$ の微分を参照

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\sin y \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}y \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\sqrt{ 1- { \cos }^{2}y } \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}y \hspace{2}}}$ ･･････(4)

逆関数の微分の公式を適用する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}} \hspace{2}}}$ ･･････(5)

(5)を(4)に代入する．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} 2\sqrt{ 1- { \cos }^{2}y } \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}y \hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { \cos }^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{ 1- { \cos }^{2}y } \hspace{2}}}$ ･･････(6)

(6)に(2)代入する．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { \left({ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{ 1- { \left({ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }\right) }^{2} } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}\sqrt{ 1- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}} } \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年4月10日