加法定理の問題

■問題

$3$\displaystyle{\sin 18^\circ \text{\hspace{1} }}$ の値を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\sin 18^\circ =\frac{\hspace{2} - 1+\sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$

■ヒント

$3$\displaystyle{5{\theta}=90^\circ \text{\hspace{1} }}$ を作り， 2倍角の公式， 3倍角の公式を利用して解く．

また，図形を用いて解く方法もある．別解

■解き方

$3$\displaystyle{{\theta}=18^\circ }$ とおくと，

$3$\displaystyle{5{\theta}=90^\circ }$

となる． 2倍角の公式， 3倍角の公式を利用するために

$3$\displaystyle{3{\theta}=90^\circ - 2{\theta}}$

と式を変形する．よって

$3$\displaystyle{\cos 3{\theta}=\cos $ 90^\circ - 2{\theta} $ \text{\hspace{1} }}$ ･･････(1)

が成り立つ．

$3$\displaystyle{\cos $90^\circ - 2{\theta}$=\sin 2{\theta}\text{\hspace{1} }}$ ･･････(2)

$3$\displaystyle{$ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet \cos \( 90^\circ - {\theta} $ =\sin {\theta} \text{\hspace{1} }}$ ⇒ 参照 )

より(1)は

$3$\displaystyle{\cos 3{\theta}=\sin 2{\theta}\text{\hspace{1} }}$ ･･････(3)

となる．

$3$\displaystyle{\cos 3{\theta}=4{\cos }^{3}{\theta}- 3\cos {\theta}\text{\hspace{1} }}$ ･･････(4)

( $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet \hspace{5}}$ 3倍角の公式を利用)

$3$\displaystyle{\sin 2{\theta}=2\sin {\theta}\cos {\theta}\text{\hspace{1} }}$ ･･････(5)

( $3$\displaystyle{ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 2倍角の公式を利用)

(4)，(5)を(3)に代入すると

$3$\displaystyle{4{\cos }^{3}{\theta}- 3\cos {\theta}=2\sin {\theta}\cos {\theta}\text{\hspace{1} }}$ ･･････(6)

となる． $3$\displaystyle{\cos {\theta}\neq 0\text{\hspace{1} }}$ なので，両辺を $3$\displaystyle{\cos {\theta}\text{\hspace{1} }}$ で割ると

$3$\displaystyle{4{\cos }^{2}{\theta}- 3=2\sin {\theta}}$

$3$\displaystyle{4 $ 1- { \sin }^{2}{\theta} $ - 3=2\sin {\theta}\hspace{5}\hspace{10} }$

(∵ $3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\theta}+{\cos }^{2}{\theta}=1\text{\hspace{1} }}$ を利用)

となる． $3$\displaystyle{\hspace{5}\sin {\theta}=X\text{\hspace{1} }}$ とおいて式を整理すると

$3$\displaystyle{4 $ 1- {X}^{2} $ - 3=2X}$

$3$\displaystyle{- 4{X}^{2}+1- 2X=0}$

$3$\displaystyle{4{X}^{2}+2X- 1=0}$

となる．解の公式より

$3$\displaystyle{X=\frac{\hspace{2} - 1\pm \sqrt{ {1}^{2}+4\cdot 1 } \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} - 1\pm \sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{X=\sin {\theta}=\sin 18^\circ > 0}$ より

$3$\displaystyle{X=\frac{\hspace{2} - 1+\sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

以上より

$3$\displaystyle{\sin 18^\circ =\frac{\hspace{2} - 1+\sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年4月18日