不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int { \cos }^{2}2xdx }$ 　　

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}\sin 4x+C}$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

三角関数の次数下げ、1次化を図る．ここを参照．

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int {x}^{{\alpha}} dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 }+C }$ 　　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）　･･････(1)

$3$\displaystyle{\int \cos x dx=\sin x+C}$ 　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \cos }$ の加法定理より

$3$\displaystyle{ \cos $ 2x+2x $ }$ $3$\displaystyle{ =\cos 2x\cos 2x- \sin 2x\sin 2x }$ 　･･････(3)

（三角関数の積和の公式の導出を参照）

$3$\displaystyle{ \cos $ 2x- 2x $ }$ $3$\displaystyle{ =\cos 2x\cos 2x+\sin 2x\sin 2x }$ 　･･････(4)

(3)+(4)より

$3$\displaystyle{\cos $ 2x+2x $ +\cos $ 2x- 2x $ }$ $3$\displaystyle{=2\cos 2x\cos 2x}$ 　　

$3$\displaystyle{2{\cos }^{2}2x=\cos 4x+\cos 0}$

$3$\displaystyle{{\cos }^{2}2x}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \cos 4x+\cos 0 $ }$

ここで， $3$\displaystyle{\cos 0=1}$ 　なので， $3$\displaystyle{{\cos }^{2}2x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ 1+\cos 4x $ }$ となる．（三角関数の積和の公式の $3$\displaystyle{2}$ つめの式を参照），半角の公式： $3$\displaystyle{{\cos }^{2}\frac{\hspace{2}α\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1+\cos α \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
を用いてもよい．

与式 $3$\displaystyle{=\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ 1+\cos 4x $ dx}$ 　　

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \int dx+\int \cos 4x dx $ }$ 　　

（ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ を積分記号 $3$\displaystyle{\int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 4x $ +C}$ 　　

（方針の公式 $3$\displaystyle{ $1$ }$ ， $3$\displaystyle{ $2$ }$ にあてはめた）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}\sin 4x+C}$ 　　

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}\sin 4x+C }$ 　を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ { \cos }^{2}2x }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日