不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int { \sin }^{2}2xdx }$ 　　

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}\sin 4x+C}$ 　　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

■ヒント

三角関数の次数下げ、1次化を図る．ここを参照．

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int {x}^{{\alpha}} dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 }+C }$ 　　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）　･･････(1)

$3$\displaystyle{\int \cos x dx=\sin x+C}$ 　･･････(2) 　

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \cos }$ の加法定理より

$3$\displaystyle{\cos $ 2x+2x $ }$ $3$\displaystyle{=\cos 2x\cos 2x- \sin 2x\sin 2x}$ 　･･････(3)

（三角関数の積和の公式の導出を参照）

$3$\displaystyle{\cos $ 2x- 2x $ }$ $3$\displaystyle{=\cos 2x\cos 2x+\sin 2x\sin 2x}$ 　･･････(4)

(3)－(4)より

$3$\displaystyle{\cos $ 2x+2x $ - \cos $ 2x- 2x $ }$ $3$\displaystyle{=- 2\sin 2x\sin 2x}$ 　　

$3$\displaystyle{- 2{\sin }^{2}2x=\cos 4x- \cos 0}$ 　　

$3$\displaystyle{{\sin }^{2}2x=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \cos 4x- \cos 0 $ \hspace{5}\hspace{10} }$ 　　

ここで， $3$\displaystyle{\cos 0=1}$ なので， $3$\displaystyle{{\sin }^{2}2x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ 1- \cos 4x $ }$ となる．（三角関数の積和の公式の 3 つ目の式を参照），半角の公式： $3$\displaystyle{ { \sin }^{2}\frac{\hspace{2}α\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1- \cos α \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
を用いてもよい．

与式 $3$\displaystyle{=\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ 1- \cos 4x $ dx}$ 　

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \int dx - \int \cos 4x dx $ }$

( $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ を積分記号 $3$\displaystyle{ \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 4x $ +C}$ 　　

（方針の公式 $3$\displaystyle{ $1$ }$ ， $3$\displaystyle{ $2$ }$ にあてはめる）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}\sin 4x+C\hspace{10} }$ 　　

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}\sin 4x+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ { \sin }^{2}2x }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日