$3$\displaystyle{ \cos x=t }$ と置換する方法

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int \sin x\cos xdx }$

■答

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$ （ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

あるいは

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \cos }^{2}x+C }$

でもよい．

■ヒント

置換積分法より

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int f $x$ dx=\displaystyle{ \int f $x$ \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} } }dt}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int f $ g \(t$ \) }{g}^{\prime } $t$ dt}$ ･･････(1)

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int xdx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+a \hspace{2}} {x}^{ 1+a }+C }$ ･･････(2) 　( $3$C$ は積分定数)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \cos x=t }$ ･･････(3)

とおいて，置換積分する．置換積分の詳細は置換積分法を参照

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \sin x }$ →　 $3$\displaystyle{ dt=\sin xdx }$ ･･････(4)

（ $3$\displaystyle{ \cos x }$ を微分すると $3$\displaystyle{ - \sin x }$ になるのは，ここ　を参照）

(3)，(4) を用いて置換積分をする．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \cos x\cdot \sin xdx } }$ $3$\displaystyle{ =\int t\cdot $ - dt $ }$

$3$\displaystyle{ =- \displaystyle{ \int tdt } }$ （－を積分記号 $3$\displaystyle{ \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

方針の公式(2)にを用いる．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{t}^{2}+C }$

はじめに(3)とおいているので，元に戻す．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \cos }^{2}x+C }$

これは，2倍角の公式によって求まった答 $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$ と異なっているが， $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$ を変形すると $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \cos }^{2}x+C }$ になる．

半角の公式の 2 番目の式より

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \cos }^{2}x+C }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2} 1+\cos 2x \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ +C }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+C }$

ここで， $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+C }$ も任意の定数となるので， $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+C }$ を改めて $3$\displaystyle{C}$ とかき直す．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$

よって，このことから， $3$\displaystyle{ \cos x=t }$ とおいて置換積分する方法でも解くことができる．

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \cos }^{2}x+C }$ ， $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ \sin x\cos x }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年3月7日